3-5. 수치 계산법(Numerical Methods) 입문

3-5-1. Monte Carlo Method

금융계에서 가장 많이 쓰이는 numerical method는 Monte Carlo method와 finite-difference method가 있다.

옵션 contract과 모델이 둘다 매우 단순하지 않은 이상, closed-form 해를 구하는 것은 드물다.

따라서, numerical techniques가 쓰인다.

먼저, 옵션의 fair value는 기초자산의 risk-neutral random walk 하에서 만기의 expected payoff의 present value이다.

S에 대한 risk-neutral random walk는,

이다. 이 의미는, stock growth rate가 r이라는 게 아니라, 옵션 가격 평가에 drift는 무관하므로 r로 둬도 상관없다는 뜻이다.

Option payoff는 expected payoff의 present value이다.

3-5-1-1. Monte Carlo 알고리즘

Monte Carlo 시뮬레이션의 단계는 아래와 같다.

1) 오늘의 자산 가격  S₀부터 시작하여 required time horizon 까지의 risk-neutral random walk를 simulate한다.

2) 이 realization에 대한 option payoff를 구한다.

3) 위의 1, 2단계를 반복한다.

4) 모든 realization 에 대한 평균 payoff를 구한다.

5) 4단계의 average의 present value를 구하면 이것이 option value이다.

시뮬레이션의 방법에는 두 가지가 있다.

A) 만일 asset path의 SDE가 integrable 이고 contract가 path dependent하지 않다면, one giant leap로 시뮬레이션할 수 있다.

B) 아니라면 time step마다 시뮬레이션 한다. 이 방법은 Euler method라고 한다.

컴퓨팅 속도의 문제도 있기 때문에, NORMSINV함수를 사용할 수도 있지만, 더 빠르게 정규분포를 근사하려면,

위와 같이 하면 되며, ψ_i는 0에서 1사이의 uniform distribution을 가진 랜덤 변수이며 RAND할수로 만들 수 있다.

왜 12로 놓는가하면, ψ_i의 표준 편차가 1/12이기 때문이다.

실제로 ψ_i로 N(0,1)을 근사하려면, sqrt(12/n) * [Σⁿ_i=1 RAND() - n/2]가 정확한 식이며, 12로 놓으면 sqrt(12/n)이 1이 되며 위의 식이 된다.

물론 더 정확한 근사를 위해서는 n값을 12보다 크게 잡아도 무방하다.

3-5-1-2. 정확도와 컴퓨팅 속도

시뮬레이션의 에러는 다음 두 가지에서 발생한다.

가) 방법 A의 경우, continous 이벤트를 discretizing하는 과정에서 O(δt)의 에러가 발생한다.

나) 실제로 infinite한 possible path 중 finite한 숫자의 path만 시뮬레이션하므로, O(N^-1/2)의 에러가 발생한다.

ε를 우리의 MC 계산에서 원하는 정확도라고 하자.

그러면 δt = O(ε)이고 N = O(ε^-2) 이다.

즉, 1% 이하의 에러를 원하여 ε = 0.01로 두면, time step은 1/100로, simulation은 10,000번 해야한다.

따라서 총 필요한 시간은 O(ε^-3)이다. 다시 말해 에러를 반으로 줄이려면 8배의 시간이 필요하다.

만일 D개의 기초자산을 가진 옵션을 하려면 걸리는 시간은 O(Dε^-3)이다.

3-5-1-3. Monte Carlo 장단점

장점

1) Monte Carlo에 들어가는 수학은 매우 간단하다. 

2) Correlation은 쉽게 모델될 수 있고, 여러 기초자산을 갖는 high-dimensional contract들의 pricing이 쉽다.

3) High-dimension에서 computationally efficient하다. Dimension과 드는 시간이 비례하기 때문이다.

4) 이미 MC를 구현한 많은 소프트웨어를 쉽게 찾을 수 있다.

5) 정확도를 높이기 위해서는 단순히 시뮬레이션을 더 하면 된다.

단점

1) 매우 느리다.

2) Greek 찾는게 힘들다.

3) Early exercise 등의 decision making이 필요한 상황에서 사용되기 힘들다.

3-5-2. Finite Difference Methods

Binomial tree method와 비슷하면서, 특정한 경우에 더 적합한 모델이다.

Binomial과 다르게 그냥 사각 grid로 표시되며, 동일한 time step과 동일한 S step을 가진다.

S = iδS 이고, t = T - kδt 이다. (여기서 0 ≤ i ≤ I 이고 0 ≤ k ≤ K)

즉, t는 expiry time에서 역순으로 매겨진다.

우리는 asset value 0에서 asset value IδS까지를 계산할 것이다.

블랙숄즈 방정식은 0 ≤ S ≤ ∞ 에 대해 계산될 것이므로 IδS는 무한대에 대한 근사값이다.

각 grid point들의 옵션 value를 아래와 같이 표기한다.

즉, 위첨자는 time variable이고, 아래첨자는 asset variable이다.

3-5-2-1. Theta Approximation

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