• 모든 statistics는 total return에 기초한다. 즉, 모든 배당/이자는 상품에 재투자된다.

• Fractional investing이 가능하다.

• 투자자들은 risk-free rate으로 자유롭게 빌리고 저축할 수 있다.

• 공매도에 관한 제한이나 패널티가 없다.

• 시장은 frictionless이다. 즉, 세금, 수수료 등이 없고 마진이나 담보가 필요없다.

먼저, risk-free asset과 risky asset A로 이루어진 포트폴리오는 아래와 같다.

그리고, 2개의 risky asset A, B로 이루어진 포트폴리오는 아래와 같다.

여기서, 상관계수 ρ_AB는 -1이하 +1이상이기 때문에, 아래가 성립한다.

즉, 포트폴리오의 리스크는 항상 weighted average의 개별 asset보다 같거나 낮다.

만일 상관계수가 -1이면, risk가 0인 포트폴리오를 구성할 수 있고, 이 포트폴리오의 리턴은 risk-free rate과 같아야 한다.

그렇지 않으면 arbitrage opportunity가 생긴다.

이제 2개의 risky asset A, B와 risk-free asset으로 이루어진 포트폴리오를 보자.

위와 같이 tangency portfolio를 얻을 수 있다.

그래프 우측 상단 파라미터에서, σ_П = w_tσ_t 이고, 곧 wt = σ_П/σ_t 이다. 

이를 μ_П = R + w_t(μ_t - R) 에 대입하면, μ_П = R + σ_П(μ_t - R)/σ_t = R + S_tσ_П이고,

Slope S_t = (μ_t - R)/σ_t 임을 알 수 있다. 이 S를 Sharpe Ratio라고 한다.

2-1-3. 분산 효과(Diversification Effect)

시장이 homogeneous하다고 가정하자.

모든 상품들이 동일한 기대수익률과 표준편차와 상관계수를 가진다.

이 상품들에 동일한 비율 1/N로 투자를 하면, 포트폴리오 기대수익률과 표준편차는 어떻게 될까?

먼저, 포트폴리오 기대수익률은 동일하다.

반면, 포트폴리오 수익의 변동성은, 

N이 커질수록, ρσ²로 수렴한다. 그리고 ρ가 0이면, 

포트폴리오 변동성은 단순히 개별 상품 변동성의 1/N이고, N가 커질수록 작아진다.

실제로 N이 커질수록 diversification의 한계효용은 줄어서, 30-50개 정도가 현실적으로 괜찮다.

또한, 모든 마켓은 diversification으로 없앨 수 없는 lower risk limit이 있고, 이를 줄이기 위해서는 여러 market에 투자해야 한다.

*포트폴리오 변동성을 벡터로 표현하면 w^T∑w 이다.

여기서 ∑는 covariance matrix로, diagonal에 σ₁², σ₂²,...가 있고 그 외에는 ρ_1,2σ₁σ₂, ... 가 있는 matrix다.

2-1-4. Market Portfolio

시장 참여자들에게 똑같은 N개의 risky securities와 1개의 risk-free asset이 주어지고, 같은 time horizon T를 갖고 있다 가정하자.

만약 이들이 계산한 market parameter가 동일하다면, 모든 투자자들은 tangency portfolio를 식별할 것이고 이 포트폴리오를 보유할 것이다.

그와 함께 tangency portfolio는 underlying asset market의 완벽한 representation이 된다. 

이런 condition 하에서, tangency portfolio는 market portfolio라고 불리며, tangency line은 Capital Market Line이라 한다.

Market porfolio는 Sharpe ratio를 maximize하는 포트폴리오이며, 이 ratio는 market price of risk다. 

2-1-5. Mean-Variance Analysis의 문제점

위에 거론한 mean-variance analysis의 단점은 그 계산 효율성에 있다.

N개의 risky securities가 있으면, N개의 기대수익률, N개의 표준 편차, 그리고 N(N-1)/2개의 상관계수를 계산해야 한다.

이 문제를 해결하기 위해, Sharpe는 아래와 같은 linear factor model을 제안하였다.

r_i는 asset i의 실제 수익률이고, α_i는 asset i 의 기본 수익률, β_i는 market return에 대한 sensitivity, ε_i는 idiosyncratic risk를 의미한다.

이 모델은, 기존의 O(N²) 파라미터를 O(N)로 줄일 수 있게 해준다.

위 모델과 같은 방식을 쓰는 economic model이 CAPM이다.

Sharpe의 모델이 ad hoc인 statistical 모델이라면, CAPM은 equilibrium 하에서의 predictive model이다.

후자는 전자의 theoretical ground가 되지만, 실제 테스트는 불가능하다.

Mean variance analysis의 또 다른 문제는 parameter estimation이다.

Optimizer는 작은 차이를 이용해 목적을 달성하는 것인데, 애초에 parameter가 틀리면, garbage in, garbage out이다.

Variance와 Covariance의 estimation은 단기 구간은 나쁘지만 장기 구간은 그렇게 나쁘지 않다.

그러나 expected value의 경우 정확한 parameter를 얻기 위해서는 수백년이 필요하다.

이 두 가지 문제(computation과 parameter estimation)의 해결책은 무엇일까?

첫번째는, 1-period framework를 버리지 않은 채, robust optimization이나 model averaging 등의 더 robust한 optimization 테크닉과,

Bayesian techniques, Black-Litterman 등의 개선된 parameter estimation 테크닉을 사용하는 것이다.

두번째는, 1-period framework를 버리고, multi-period, multi-scenario stochastic programming model들을 사용하는 것이다.