2. 조건부 기대값은 tower property를 만족한다.

여러 레벨의 정보로 반복된 condition이 부여되면, 가장 작은 정보 셋을 적용한다.

3. No filtration은 항상 가장 작은 정보 셋이므로, E[E[X|F] = E[X] 이다.

4. 만일 X가 F-measurable이면, F를 알면 X값을 안다. 따라서, E[X|F] = X이다.

5. 만일 X는 F-measurable인데 Y가 아니면, E[XY|F] = XE[Y|F] 가 된다.

6. 만일 X가 F와 독립이면, F를 아는 것은 X의 값을 예측하는데 불필요하다. 따라서, E[X|F] = E[X]이다.

7. 만일 X ≥ 0 이면, E[X|F] ≥ 0 이다.

8. f가 convex fuction이면, f(E[X|F]) ≤ E[f(X)|F] 이다. (Jensen's Inequality)

1-7-3. Probability Measure의 변환과 Radon Nikodym Theorem

이전의 이항 모델의 risk-neutral p`와 real/physical p처럼, probability measure는 한개가 아니다. 

만일 P와 Q가 똑같은 sample space Ω를 쉐어하고, 모든 subset A에 대해 P(A) = 0이면 Q(A) = 0을 만족하면, 

Q는 P에 대해 absolutely continuous하다고 하며, Q < < P 라고 표기한다. 

즉, 가능한 일의 확률은 바꿀 수 있어도 불가능을 가능으로 변환하지는 못한다.

만일 P < < Q이고, Q < < P 이면 두 measure들은 equivalent하다고 하며, P ~ Q로 표기한다.

P~Q이면, 모든 A ⊂ Ω 에 대해,

위 식을 만족하는 랜덤 변수 Λ가 존재하며,

이를 Radon-Nikodym derivative라 한다. 이산적(discrete) 분포의 경우, 간단히

위와 같이 된다.

이렇게 change of measure를 하는 이유는 어려운 문제들을 쉽게 풀기 위해서다.

위와 같이 2 차원 이토 방정식과 n 차원 이토 방정식을 도출할 수 있다. 

그리고 n 차원 이토 방정식의 적분은 단순히 양변을 적분하면 된다.

1-7-4-2. 이토 Product Rule

Ito product rule은 두 프로세스 S₁(t)와 S₂(t)의 곱으로 정의되는 V를 다룬다.

이토 product rule은 일반 미적분의 product rule과 비슷한데,

d(S₁ × S₂) = [ S₁ × dS₂ + dS₁ × S₂ ] + [ dS₁ × dS₂ ]

좌변의 첫 [ ]항은 일반 미적분 방식과 같고, 두번째 [ ] 항이 cross variation adjustment이다.

1-7-5. Stochastic Calculus 참고 자료

Steven Shreve: Stochastic Calculus for Finance I, II - 매우 명료하고, 금융에서의 stochastic calculus를 모두 커버한다.

Baxter and Rennie: Financial Calculus: An Introduction to Derivative Pricing - 주요 테크닉들에 대한 좋은 overview를 제공하고, plain English의 직관적인 설명을 듣기 좋다.

Chin, Nel, Olafsson: Stochastic Calculus, volume 1 of Problems and Solutions in Mathematical Finance - 확률론과 stochastic calculus에 관한 많은 문제와 해답을 제공한다.

Hull: Options, Futures, and Other Derivatives - 역작이며, 대부분의 토픽을 커버하지만 stochastic 파트는 금융 공학보다는 금융학의 관점에서 커버되어 있다.

Oksendal: Stochastic Differential Equations - 이토 프로세스를 manipulate하기 위한 모든 증명과 결과들이 담겨 있다.

Neftci: An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives - 괜찮지만 지나치게 개관적이다.