3. t₁ < t₂ < t₃ < t₄ 에 대하여 increment X_t4 - X_t3, X_t2 - X_t1 은 독립이다.

4. X_t - X_s ~ N(0, | t - s | )

인데, 사실 같은 이야기이다. 

Increment가 N(0, ~)을 따른다는 것은 기대변화값이 0, 즉 Levy의 3번과 일치하고,

Levy의 4번은 결국 quadratic variation |X_t| ㅡ> t 이란 뜻이다. Standard calculus에 없는 extra drift term이다.

이토적분은 discretize했을 때 non-anticipatory left-hand rule을 따른다.

lim_n->∞∑^N-1₀f(t_i, X_ti) (X_i+1-X_i)

Right-hand rule과 mid-point rule은 anticipatory, 즉 t+1값을 예측해야하는 반면, 이토적분은 그렇지 않다.

그리고 lim_n->∞∑^N-1₀f(t_i, X_ti) (X_i+1-X_i) 의 기대값을 구하면,

따라서 마틴게일이 성립한다.

Stochastic process Y(t) = X²(t) 를 보자. 이토의 정리에 의해

이고, 양변의 expectation을 하면,

이 된다. 그런데 여기서 E[X²(T)]는 quadratic variation인 T이므로, 

가 된다. 따라서 이토 적분은 마틴게일이다.

굳이 이 예가 아닌, 그 어떤 stochastic process를 예로 들어도 위가 성립된다.

[0, T]에 대한 g(t, X_t) 라는 함수가 있고 technical condition을 충족하면,

위 이토 적분은 마틴게일이다.

그 역인, 마틴게일은 이토 적분으로 표현될 수 있다도 성립한다.

만일 M이 마틴게일이면, technical condition을 충족하는 함수 g(t, X_t)가 존재하며,

위가 성립된다. (Martingale Representation Theorem)

*참고로, time integral과 expectation은 Fubini's Theorem에 의해 아래와 같이 교환할 수 있다.

이토 적분의 세 가지 주요 특성은 다음과 같다.

1. Linearity: 적분의 limit of a sum으로써의 일반적 정의에서 따온 것이다.

2. Ito isometry: 이것은 이토 적분을 일반적인 함수들로 확장하는데 쓰인다.

3. Martingale

마틴게일은 s < t일 때, 시간 t 때의 기대값은 시간 s 때의 realized 값이라는 것이다. 마틴게일은 driftless process다.

마르코프는 time t의 기대값이, time s까지의 history에 의존하지 않는다는 것이다. 마르코프는 memoryless process다. (no path dependence)

아래를 만족하는 어떤 stochastic process Y(t)가 있다고 하자.

dY(t) = f(t)dt + g(t)dX(t)

그리고 새로운 프로세스 Z(t) = exp(Y(t))를 정의하자.

Z(t)가 마틴게일이 되려면 f(t)는 무엇이 되어야 할까?

위의 stochastic process Z(t)는 다른 stochastic process의 exponential이면서 martingale이기 때문에, exponential martingale이라 부른다.

1-8-6. Novikov Condition

위에서 주목할 한 가지 점은, 

어떤 stochastic process가 위를 만족하면 Novikov condition을 만족한다고 한다.

그리고 stochastic process θ가 Novikov condition을 만족하면, 아래와 같이 정의된 process M^θ은 마틴게일이다.

Exponential martingale은 새로운 probability measure P를 정의할 Radon Nikodym derivative Λ로 사용될 수 있기 때문에 확률론에서 매우 중요하다.

위 개념은 나중에 나올 Girsanov's Theorem에서 매우 중요하다.

Girsanov's Theorem은 나중에 다룰 것임으로 잠깐만 언급하고 넘어간다.

어떤 stochastic process θ가 Novikov condition을 만족하면, 

위의 Radon Nicodym derivative를 통해 (Ω, F)에서 P와 equivalent한 probability measure Q를 정의할 수 있다.

그리고 아래와 같이 정의된 프로세스 X^Q는 (Ω, F, Q)에서 standard Brownian Motion이다.

1-8-7. 마틴게일의 종류

간략하게 여러 가지 마틴게일을 짚고 넘어간다.

1-8-7-1. Supermartingale and Submartingale

Supermartingale은 기대값이 현재값보다 작을 경우, Submartingale은 기대값이 현재값보다 클 경우를 말한다.

1-8-7-2. Stopping Time

Local martingale를 설명하기 위해서는 stopping time 개념이 필요하다.

어떤 도박 게임에서, marginal winning이 X(n), 누적 winning이 W(n)이라 하면, 어느 시간 τ에 게임을 멈추는 방법은 세 가지가 있다.

F_n은 각 라운드에 의해 생성된 filtration이다. W(n)은 F_n-measurable이다.

1) 어떤 특정한 라운드 N 후에 멈추는 방법 - 이 경우, τ = N 이고 결정론적이다.

2) 어떤 재산 목표 W^T가 달성되면 멈추는 방법.

3) 재산이 0이 되면 멈추는 방법.

이 때, 2와 3의 경우, τ는 stopping time이라 불리며, {τ = n} ∈ F_n: τ는 F_n-measurable이다.

이 2, 3을 합쳐, τ가 W^T가 되거나 0이 될 때로 정의하면, τ는 hitting times로 불린다.

만약 어떤 랜덤 변수의 sequence ε₁, ε₂, ..., ε_n과 stopping time τ가 있으면,

ε^τ_n = ε_min(τ,n) 를 sequence stopped at τ라고 한다.

그리고, τ가 stopping time일 경우,

1) ε_n 이 마틴게일이면, ε^τ_n도 마틴게일이다.

2) ε_n 이 슈퍼마틴게일이면, ε^τ_n도 슈퍼마틴게일이다.

3) ε_n 이 서브마틴게일이면, ε^τ_n도 서브마틴게일이다.

1-8-7-3. Local Martingale

다시 돌아가, local martingale은 지역적 마틴게일인데,

τ_k ㅡ> ∞ as k ㅡ> ∞ 이고, M(min(t, τ_k)가 모든 k에 대해 마틴게일임을 만족하는 F_t stopping times (τ_k)_k=1,...를 찾을 수 있으면,

F_t-adapted process M(t)는 F_t에 대해 local martingale이라 한다.

1-8-7-4. Semimartingale

어떤 프로세스 Z(t)가 아래를 성립하면 semimartingale이라 한다.

Z(t) = A(t) + M(t)

여기서 A(t)는 예측가능한 process로, locally bounded variation을 가지고 있고, A(0) = 0 이며,

M(t)는 local martingale이다.

금융 공학에서의 대부분 프로세스 - 브라운 운동, Ito diffusion process, jump-diffusion/Levy process는 모두 semimartingale이다.

1-8-7-5. Quasimartingale

Rao's Theorem은 quasimartingale의 특성을 다음과 같이 정리한다.

어떤 프로세스 Z(t)가 아래를 성립하면 semimartingale이라 한다.

Z(t) = B(t) + M(t)

여기서 B(t)는 예측가능한 process로, path of locally integrable variation을 가지고 있고, B(0) = 0 이며,

M(t)는 local martingale이다.

Quasimartingale의 B(t)는 semimartingale의 A(t)보다 느슨하게 정의되지만, 마찬가지로 infinite variation은 제외한다.