2-4. 마켓 리스크 측정 방법

리스크 측정에는 세 가지 목적이 있다.

1) 이미 알려진 리스크를 찾기: 해당 회사나 다른 회사가 경험해본 리스크

2) 이미 알려진 리스크를 보기 쉽게 만들기

3) 아직 알려지지 않은 리스크를 이해하고 찾기: 아직 해당 회사나 업계가 경험하지 못하고 기대하지 못하는 리스크

리스크는 아래와 같이 분류된다.

*책 추천: The Essentials of Risk Management by Michel Crouhy

2-4-1. Value at Risk(VaR)

JP모건이 Markowitz Portfolio Theory를 이용해 만들었다.

VaR은 주어진 기간 내에 어떤 증권이나 포트폴리오를 홀딩함으로써 예상되는 confidence level 하의 손실 threshold를 말한다.

예를 들어, 99% confidence level하의 VaR이 $10m이라면, 100일 중 하루는 일일손실이 $10m보다 높을 것으로 예상된다는 것이다.

VaR은 주어진 기간 내에 얼마를 잃을 수 있을지는 말하지 않는다. 그것은 최대이기 때문이다.

VaR은 단지, market factor의 변화에 따라 portfolio의 잠재적 가치 변화의 확률을 말해준다.

VaR은 다음의 단계를 거쳐 계산된다.

1) Portfolio return의 forward distribution을 계산한다. 이에는 historical price distribution(nonparametric VaR), normal distribution(parametric VaR), MC simulation이 있다.

2) Distribution의 required percentile을 찾는다. Normal distribution을 가정하면 99% confidence level은 곧 2.33 standard deviation 지점이다.

10-Day VaR을 구하려면 1-Day VaR보다 10배의 time horizon이 필요하다. 

따라서 1-Day VaR에서 10^1/2을 곱해 derive하는 방법을 취한다.

2-4-2. VaR의 계산 방법

2-4-2-1. Analytic Variance-Covariance Approach(Parametric VaR)

이 방법 하에서 risk factor들과 portfolio value는 log-normally distributed하다고 가정한다. 즉 그들의 return이 정규 분포를 띈다.

정규 분포는 첫번쨰와 두번쨰 moment로 설명되므로, 이를 1) risk factor들의 multivariate distribution과 2) composition of portfolio에서 구하면 된다.

VaR = μ + σN^-1(X)

2-4-2-2. Historical Simulation(Non-Parametric VaR)

Historical simulation은 간단하고, distribution에 대한 가정을 필요치 않지만, 최소한 2, 3년의 데이터가 필요하다. 다음의 단계로 이루어진다.

1) 주어진 시간 구간 동안의 daily risk factor change를 구한다. 모든 risk factor에 대해 같은 시간 구간을 사용한다.

2) 1에서 구한 daily change를 current value of risk factor에 number of days 만큼 적용하여 revalue한다. 모든 포지션에 걸쳐 이 changes를 더한다.

3) Portfolio value들의 histogram을 만들고, left-hand tail에 해당하는 confidence level 파트를 isolate하는 VaR을 구한다.

Historical simulation의 장점은 parameter에 대해 고민할 필요가 없다는 점과, risk factor의 distribution에 대한 가정이 필요없다는 것이다.

또한 volatilities와 correlation들을 계산할 필요도 없어진다. 그들은 이미 data set에 반영되어 있다. 그리고 distribution의 fat-tail을 잘 반영한다.

반면, 어떤 특정한 시간 구간에 의존한다는 단점이 있다. 과거가 미래의 신뢰할만한 representation이라는 가정을 하는데, 이 가정은 항상 맞는 것은 아니다.

2-4-2-3. Monte Carlo Simulation

각 시뮬레이션으로 possible value들을 generate 한다. 다음의 단계를 거친다.

1) 모든 relevant risk factor들과, 그들의 stochastic processes와 parameter estimates를 specify한다.

2) Random number들을 이용하여 stochastic process들을 one step씩 계산해 price path를 construct한다. 

3) 각 path(scenario)의 portfolio를 value한다.

위의 단계는 수만 번 반복된다. 그리고 나서 confidence level에 따른 VaR을 계산하면 된다.

MC simulation의 장점은, risk factor의 어떠한 distribution도 받아들일 수 있다는 것이다. 또한, VaR의 confidence interval을 계산할 수 있게 해 준다.

그리고 market parameter들을 변화시켜 sensitivity analysis를 가능하게 해 준다.

반면, distribution의 parameter, 즉 mean, variance, covariance에 대한 정확한 estimates가 필요하다.

또한 크고 복잡한 포트폴리오에 대해서는 computational 한계도 있다.

2-4-3. Expected Shortfall(ES)

ES는 conditional VaR, conditional tail expectation, 혹은 expected tail loss라고도 한다.

VaR는 최악의 1% 지점이 얼마 이상의 손실일지를 찾는다면, ES는 만일 최악의 1%가 벌어지면 얼마의 손실일지를 찾는다.

다시 말해, loss distribution에서 Xth percentile을 넘었다는 condition 가정하에, expected loss over time T를 구한다.

예를 들어, 99% 10-Day VaR이 55m이라면, 손실이 55m 이상이라 가정할 경우 10-day period의 평균 손실액을 구한다.

2-4-4. Extreme Value Theory(EVT)

EVT는 central limit theorem의 연장이자 counterpart로 여겨진다.

EVT theorem은 cutoff point u 이후의 values x의 limit distribution은 y=(x-u)/P 아래의 family에 belong한다고 말한다.

여기서 단순함을 위해 loss x를 양수로 표기하여 y도 양수가 되도록 하였다.

Distribution은 tail이 사라지는 속도를 규정하는 1) scale parameter와 2) shape parameter로 characterize된다.

VaR와 CVaR은 EVT의 analytical distribution에서 closed-form solution으로 derive될 수 있다.

이것은 tail parameter와 dispersion parameter의 estimation을 요한다. 

이를 계산하는 한가지 방법은 maximum likelyhood method으로, 

1) cutoff point u를 구한다. Tail에 충분한 observation이 있도록 골라야하는데, 괜찮은 ad hoc 방법은 5%의 data를 tail에 포함하는 것이다.

2) 그리고 나서 u이상의 loss만 consider해서 two parameter에 대한 observation의 likelyhood를 maximize한다.