2-6. 변동성 모델: ARCH Framework

2-6-1. 변동성의 정의

변동성이란 건 결국 가격의 variability를 말하며, return의 standard deviation으로 정의된다. 

아래는 전부 변동성을 지칭하는 다양한 방법이다.

1) GBM 등의 special SDE에서 나오는 parameter.

2) Historical return에서 계산된 realized quantity.

3) Historical return과 모델에 의한 conditional quantity. (이 장의 초점)

4) 스스로의 SDE가 있는 stochastic variable.

5) 실제 option price에 option pricing formula를 적용했을 때의 implied volatility.

변동성은 왜 변하는가? 하나의 완벽한 답은 없다.

1) Economic, political, financial 등의 crises 때 증가한다.

2) 주식 시장이 하락하며 레버리지(debt/equity ratio)가 증가할 때 증가하는 경향이 있다.

3) 몇몇 거시경제 지표들과 관련이 있다.

4) 특정한 unit time 내 정보량이 증가할수록 변동성이 증가한다.

5) Trading volume과 상관관계가 있지만, 인과관계가 있다고 할 수는 없다.

2-6-2. ARCH 모델 Family

ARCH 모델들은 주, 일, 시별 asset return의 시계열(time series)을 잘 표현하는 모델(stochastic process)들이다. 

AR = autoregressive(자동 회귀), CH = conditional heteroscedastic(조건부 이분산성)의 약자다.

ARCH Framework하에서는 다음이 가능하다.

1) Maximum likelihood principle을 이용해 parameter들을 최대한 정확하게 추정할 수 있다.

2) 단순한 모델들과 더 복잡한 specification 간의 비교 테스트를 할 수 있다.

3) Multi-asset에 대한 Covariance 계산을 가능하게 한다. 

4) Future volatility에 대한 예측 계산을 할 수 있고, 이는 리스크 관리, 파생 가치 계산, Portfolio weight 최적화에 쓰인다.

ARCH 모델들은 conditional density function들로, conditional mean, conditional variance, shape of the density 세 가지를 정의함으로써 특정 모델이 정의된다.

2-6-3. GARCH(1, 1)

가장 단순하면서 신빙성 높은 모델이다. G는 Generalized의 약자이다.

r_t-1, r_t-2, ... 등의 조건 하에 r_t의 distribution은 N(μ, h_t)의 분포를 따른다는 것이다.

1) Conditional mean은 상수이며 μ다. 

2) Recursively 정의(좌우에 둘다 h가 있음)되는 conditional variance는 아래와 같다.

여기서 α항은 squared excess mean의 영향을, β항은 이전 time의 variance의 영향을 나타낸다.

3) Conditional density들은 모두 normal이다.

4) Parameter vector θ = (μ, ω, α, β)이고, returns data에서 estimate된다.

5) h_t가 양수여야 하기 때문에, ω ≥ 0, α ≥ 0, β ≥ 0 이다.

6) Stationary process가 되기 위해서, α + β < 1 이다.

(Stationary process: mean, variance 등의 statistical properties가 constant인 process)

그리고 daily return에 대해서는, α가 거의 0, 보통 < 0.1이며, α + β는 거의 1, 보통 > 0.95이다.

h_t를 전개하면, lower bound가 우변 첫째 항임을 알 수 있고, higher bound는 없다.

GARCH(1, 1)와 많은 ARCH 모델들은 asset return의 세 가지 major stylized facts(daily return이 거의 symmetric하고, fat tail과 high peak을 갖고 있음)와 consistent하다.

GARCH(1, 1)에서는 return이 3을 넘는 kurtosis를 가지며, 무한일 수도 있다. 

Conditional mean이 previous return에 의존하지 않기 때문에 return들은 uncorrelated다.

Kurtosis가 finite일 때, squared excess return들의 autocorrelation s_t = (r_t - μ)²는 존재하며 양의 값이다.

Conditional variances h_t의 series에 대한 positive dependence는 s_t에 대한 positive dependence를 만든다.

GARCH(1, 1)모델의 s_t = (r_t - μ)²의 autocorrelation는 ARMA(1, 1) 프로세스의 그것과 동일한 모양이다.

Autocorrelation이 존재할 때, C는 오직 α, β만의 positive function이다.

C는 보통 0에서 1사이며 0에 더 가깝다. 

Stationary GARCH(1, 1) 모델의 variance forecast는, time t-1에 아래의 information

과, 아래의 conditional variance에서 얻을 수 있다.

그리고 위의 conditional variance는 아래의 unconditional variance에 의존한다.

모델은 n이 증가하면서 unconditional variance에 converge하고, 

Rate of convergence는 persistence parameter α + β 에 의해 정해진다.

Half-life는 forecast가 current level of volatility와 unconditional level의 half-way에 있는 time H이다.

즉, (α + β)^H = 1/2 이다.

2-6-4. General Framework

ARCH 모델들은 아래의 여섯 가지 요소를 가진다.

1) Return r_t, 여기서 t는 trading period이며 보통 trading day다.

2) Information sets I_t-1. Subsequent times t 이전에 그 content는 known이다. 

가장 단순한 예는 return history I_t-1 = {r_t-1, r_t-2, ...} 이고, 더 복잡한 예는 옵션 정보이다.

3) Conditional means를 정의하는 함수 μ_t = E[r_t|I_t-1]. 이 함수는 상수일 수 있고, 아니면 previous return들의 함수일 수 있다.

4) Conditional variances를 정의하는 함수 h_t = var(r_t|I_t-1). 이것은 모델의 가장 key feature이다. 

이 함수는 보통 previous return들의 함수이며, calendar term이나 returns price history의 추가 정보를 포함할 수 있다.

5) Family of conditional distributions D, r_t|I_t-1 ~ D(μ_t, h_t). 가장 쉬운 예는 conditional 정규 분포다. 

아무 family D에 대해, standardized variables

는 그 어떤 information I_t-1에 대해서도 z_t|I_t-1 ~ D(0, 1)의 property를 가진다. 그러면 standardized variables는 i.i.d.이다.

6) Parameter vector θ. 여기에는 함수 μ_t, h_t의 모든 parameter와 D(0, 1)를 정의하기 위한 모든 것이 포함된다. 

2-6-5. GJR(1, 1)

For any ARCH model에 대해, 그 residuals는 e_t = r_t - μ_t 이다.

GARCH는 next variance에 대해 positive 와 negative residuals가 동일한 impact를 가진다는 것에 한계가 있다.

이것은 특히 주식 시장에서 매우 부적절하다.

Asymmetric volatility 모델들은 positive와 negative residuals를 분리하는 variable을 가지고 있다.

S_t = 1 if e_t < 0, = 0 if e_t ≥ 0.

GARCH(1, 1)에서 asymmetry를 포함하기 위해 conditional variance를 다음과 같이 바꿀 수 있다.

이 specification은, 

1) 하나의 추가적인 parameter α^-를 갖고 있으며, 이것은 주가지수 return에 대해 거의 항상 양수이다.

2) Returns r_t-1들이 expectations μ_t-1의 위 혹은 아래에 있을 때, squared residual을 각각 α+α^- 혹은 α로 곱한다.

3) Persistence parameter ф = α + 0.5α^- + β를 가지고 있고, 이는 forecasting equation에 등장한다. 이제

4) GJR은 Glosten, Jagannathan, 그리고 Runkle을 따라 이름 붙여졌다.

왜 주가지수 변동성은 asymmetric 할까?

Asymmetric effect는 20세기 전체에 걸쳐 미국 지수에서 발견된다. 이 효과는 시간에 따라 다르며 최근에 더욱 강해졌다. 

이 효과는 지수가 아닌 개인 회사에 대해서는 더 약하다. 

이 효과에 대한 설명으로는, 개별 회사들의 return들 사이의 correlation은 하락장에서 강해진다는 것이다.

오래전 의견은, debt/equity ratio가 하락장에서 증가하고, 따라서 equity가 더 risky하고 더 변동적이라는 것이다. 

그러나 asymmetric effect는 1) d/e ratio의 변화보다 훨씬 크고, 2) debt-free 회사들에서도 발생한다.

2-6-6. Parameter Estimation

Parameters θ는 관찰된 데이터에서 "most likely"한 값들을 고르는 것으로 얻어진다. 

이는 likelihood 함수의 maximization을 요한다. 데이터셋이 클수록 parameter estimates는 매우 정확하다.

데이터셋의 likelihood는 관찰된 데이터와 모델의 parameters값들을 사용해 evaluate한 density function이다. 

Likelihood function L(θ)은 parameter θ의 함수다.

n개의 return과 history of returns에 제한된 conditional information에 대해, f가 ( ) 내의 변수들의 conditional density를 represent한다면,

Conditional densities가 normal이면,

r_t|I_t-1, θ ~ N(μ_t(θ), h_t(θ))

여기서, μ_t and/or h_t는 θ의 함수이고,

그러면 log-likelihood function은,

이고, 여기서

계산을 할 때는, 아래의 식을 사용하는 것이 편하다.

따라서,

log-likelihood의 single value는 아래와 같이 계산할 수 있다.

1) θ의 모든 parameters에 대한 값을 고른다.

2) μ₁를 고른다. 예를 들자면, 모든 n returns의 sample mean.

3) h₁를 고른다. 보통 모든 n returns의 sample variance이다.

4) r₁을 이용해 다음을 구한다. 

5) r₂를 이용해 다음을 구한다.

6) 4, 5를 반복한다.

Maximum likelihood estimate θ-hat은 L(θ)의 값을 최대화하는 parameter value 세트, 혹은, log L(θ)를 최대화하는 그것이다.

Maximization에는 소프트웨어가 필요하다. 

2-6-7. Hypothesis Tests

ARCH 모델의 종류는 likelihood function에 기초한 hypothesis tests을 참고로 해서 선택할 수 있다.

2-6-7-1. Conditional Distribution이 Normal인가?

Normal family의 대안은 많다. t-distribution을 예로 들면, mean, variance, degrees of freedom v 세 가지 parameter를 갖고 있다.

t-distribution은 fat-tail이며, v > 4일 때 kurtosis는 finite이며 3 + 6 / (v - 4)와 같다. v 가 무한을 향해 갈수록 t-dist는 normal을 향해간다.

ζ = 1/v 로 두면, normal distribution의 null hypothesis는 다음과 같다.

Null을 테스트하기 위해서는,

1) 모델을 두번 estimate한다. 한번은 null hypothesis를 위해, 두번째는 alternative hypothesis를 위해.

2) L₀와 L₁이 두 가정의 log-likelihood function의 최대값이라고 가정한다.

3) χ² distribution과 2(L₁ - L₀)를 비교한다. Alternative이 parameter를 하나 더 갖고 있으므로 df는 1이다.

4) Null이 reject되면 best conditional distribution은 not normal이다.

5) Alternative test는 ζ를 그 standard error로 나눈것을 사용하며 같은 결론을 낸다.

2-6-7-2. Expected Returns가 Volatility에 Depend하는가?

아래의 conditional mean을 가진 ARCH-M specification이 있다고 하자.

그러면, 이 질문은 아래의 null을 테스트함으로써 알 수 있다.

1) 한 가지 방법은, 2-6-7-1에서처럼 L₀와 L₁을 두 가정의 log-likelihood function의 최대값이라하고 df = 1에서 χ² distribution과 2(L₁ - L₀)를 비교하는 것이다.

2) 두 번째 방법은, λ를 그 standard error로 나눈 값을 사용해서, N(0, 1)와 결과를 비교하는 것이다.

여러 가지 연구에서, μ_t와 h_t간의 관계는 약하다는 결과가 나온 바 있고, 그 관계는 시간에 따라 달라진다.

λ는 양 혹은 음의 값을 가질 수 있다.

2-6-7-3. Volatility Shock의 영향은 영원히 유지되는가?

GJR(1, 1) 모델의 persistence는 ф = α + 0.5α^- + β 이다.

Persistence가 1보다 작을 때, future volatility에 대한 return의 영향은 점점 사라진다.

그러나, 만일 ф = 1 이면, ARCH model은 integrated이고, 변동성은 unit root을 가지며, returns는 future volatility에 대해 영원한 impact를 가진다.

아래의 null에 대한 테스트는 mixed 결과를 보인다.

1) 이 null은 보통 외환 시장에서는 reject된다.

2) 이 null은 미국 주가지수에 대해서는 가끔 accept된다. 

2-6-7-4. Option Trading은 Volatility를 증가시키는가?

Hypothesis test는, 특정한 이벤트가 volatility에 permanent impact를 가지는지 테스트할 수 있다.

ω = ω₀ before the event, = ω₁ after the event로 정의하면,

Null은 다음과 같다.

이것은 event 전에 시작하여 이벤트 후에 끝나는 history of returns에서 ARCH model을 estimate하는 것을 요한다.

영국 회사들의 경우, null hypothesis가 favor된다.

2-6-8. High-frequency ARCH

ARCH model이 intraday return으로 estimate되면 발생하는 문제들이 있다.

GARCH(1, 1)와 다른 단순한 specification들의 경우, data frequency가 증가하면 persistence parameter의 estimate이 많이 변한다.

적절한 모델은 1) intraday volatility pattern과 2) different persistence levels를 가진 multiple volatility components를 고려해야 한다.

2-6-9. Multivariate ARCH

두개 이상의 asset에 대해 conditional variances와 covariances는 동시에 estimate될 수 있다.

이 경우, estimated parameters의 수에 대한 선택을 내려야 하며, 이는 많은 asset을 모델할 때 매우 중요하다.

매우 큰, dynamic correlation matrices를 estimate하는 비교적 단순한 방법은, Engle에 의해 개발되었다.

그의 2002년 논문 "Dynamic Conditional Correlation"과 그의 2009년 책 "Anticipating Correlations: A New Paradigm for Risk Management"에 상세히 기술되어 있다.