2-5. 자산 수익률의 실증적 패턴

책 Asset Returns: Key, Empirical Stylized Facts 참고

2-5-1. 일일수익률(Daily Return)의 패턴과 정형화된 사실

2-5-1-1. 일반적인 패턴

평균에 관한 empirical 패턴

• 주식에 대해서는 장기적으로 양의 평균을 가진다.
  

• 미국과 영국 주식시장은 20세기부터 계산하면 6~8%로, risk-free rate보다 높다.
  

• 외환시장은 거의 0에 가깝다.
  

계절성

• 월요일은 다른 날보다 평균이 0.2% 낮다.

• 월의 전반부가 후반부보다 훨씬 평균이 높다.

• 1월이 다른 달보다 훨씬 평균이 높다. 특히 작은 회사일수록 그렇다.

• 공휴일 전날들은 다른 날보다 평균이 훨씬 높다.

• 위 중 몇몇 계절성은 최근에 사라졌으며 보통 계절성은 무시한다.

• 긴 time series는 항상 volatility clustering을 보여준다. 따라서 short period에 대한 estimate은 들쭉날쭉이다.
  

• 외환의 1일 평균 SD는 0.6~0.9%, 1년 평균 SD는 10~14%

• 주가지수의 1일 평균 SD는 0.7~1.3%, 1년 평균 SD는 11~21%

• 큰 미국 회사들은 1일 1.2~2.0%, 1년 19~32%

• 원자재는 1일 1.0~2.0%, 1년 16~32%

• 회사 규모가 클수록 SD는 작아지고, 포트폴리오의 구성원 숫자가 늘수록 포트폴리오 SD는 작아진다.

• SD에도 계절성이 있는데, 폐장 간 발표된 뉴스가 개장 후 반영되는 것으로 설명될 수 있다. 월요일과 휴일 다음 날이 SD가 다른 날보다 높다.

2-5-1-2. Stylized Fact 1: Non-Normality

Stylized fact 1: 수익률의 distribution은 normal이 아니다. 이는 approximately symmetric이며, fat tail과 high peak을 가졌다.

정규분포와 비교해서, daily return distribution은 0.5 SD 내에 더 많은 확률분포와, 3 SD 이상에서 더 많은 확률분포, 나머지 구간에서 더 적은 분포를 가지고 있다.

3 SD 이상의 observation은 outlier 혹은 extreme value라고 부른다. 이들은 한 해에 보통 3번 정도 일어난다. 4 SD 이상은 일년에 한두번 일어난다.

이런 non-normality는 리스크 매니지먼트와 옵션 가치 계산에서 중요한 고려 사항이 된다.

Volatility clustering은 이 non-normality를 어느 정도 설명해주기도 한다. 

Sample에서 어떤 리턴은 high vol 구간에서, 어떤 리턴은 low vol 구간에서 오므로 kurtosis가 3이상이 될 수밖에 없다.

우리는 어떤 distribution이 return을 잘 설명하는지 아직 말할 수 없다. 몇몇 후보들은 여러 distribution의 혼합이다.

어떤 이들은 infinite variance를 주장하기도 하지만, empirical evidence는 그것이 아님을 잘 반증한다.

2-5-1-3. Stylized Fact 2: No Correlation between Returns

Stylized fact 2: 다른 날들의 수익률 사이에 상관계수는 거의 없다.

위는 period r과 period r+1 사이의 scatterplot이다. 상관계수가 거의 없음을 보여준다.

Positive lags τ의 set에 대해 sample autocorrelation은 위와 같이 구할 수 있다.

rt와 rt+τ가 i.i.d.(independent and identically distributed) random variable이란 가정은 아래와 같이 테스트할 수 있다.

• Null hypothesis: the stochastic process는 i.i.d 이다.

• Sampling theory: ρ-hat ~ N(0, 1/n), approximately, for an i.i.d. process.

• Test statistic: n observation에서 z_τ = n^1/2ρ_τ-hat 을 계산.

• Null distribution: for large n, can use z_τ ~ N(0,1).

• Test result: for a 5% significance level, reject the null hypothesis if either z_τ < -1.96 or z_τ > 1.96.

위와 같이 계산한다. Null hypothesis는 Q_k가 chi-squared distribution with k degrees of freedom χ_k²의 critical point를 초과하면 reject된다.

이 테스트는 lag 1에서 k까지의 autocorrelation이 i.i.d. process에 대해서 거의 독립 랜덤 변수라는 것을 적용한다.

2-5-1-4. Stylized Fact 3: Correlation between Function of Returns

Stylized fact 3: 가까운 날들의 수익률들은 절대값이나 제곱을 취하면 양의 의존성을 보인다.

아래에서 보듯이, r은 상관계수가 0에 가까운 반면 r의 함수들은 그렇지 않다.

이 현상도 volatility clustering으로 설명된다. 높은 vol 구간에서는 인접한 일일 수익률의 절대값은 둘다 큰 폭을 가진다.

위의 결과에 따라,

1) 변동성 변화는 비교적 정확히 예측될 수 있다.

2) Continuous time 하에서 가격은 GBM을 따르지 않는다.

3) 옵션 트레이더들은 BS식을 개선해야 한다.

2-5-2. High-Frequency Asset Returns

가격은 아래와 같은 다양한 빈도로 관측된다.

1) 1일 이상의 빈도를 가진 observation을 low frequency라고 한다. 

2) 모든 trade와 quotation에 대한 관측은, buy와 sell quote가 다르고 trade는 quote나 mid-level에서 일어나며, price observation 사이 간격이 들쭉날쭉하고, 너무 고빈도라 비현실적이다.

3) 어떤 중간적인 high frequency, 즉 분당, 5분당, 30분당의 관측은 현실적이면서 변동성 estimate과 forecast를 더 정확하게 해 준다.

2-5-2-1. Intraday Return의 Stylized Facts

• Intraday return은 fat-tailed distribution을 가지며, frequency of price observation이 증가할수록 kurosis가 올라간다.
  

• Traded asset들의 intraday return들은 거의 상관계수가 없다. 
  

• Intraday absolute return은 상당한 양의 상관계수를 갖는다. 이는 low lag에서도 일어나고, integer number of day로 separate했을 때도 일어난다.
  

• 변동성의 평균값은 그 날의 어떤 시간대인가에 영향받는다. 하지만 intraday variation이 상당하다.
  

• 중요한 거시경제 발표에 따른 큰 변동성의 짧은 폭발이 관측된다.
  

2-5-2-2. Intraday Volatility Patterns

하루의 어떤 시간대인지, 일주일의 어떤 요일인지, 그리고 예정된 거시경제지표가 있는지에 따라 변동성 패턴이 관측된다.

시간대

• 개장 시 매우 높고, 거시 뉴스가 발표될 때 살짝 높아지고, 유럽장과 미국장이 동시에 열릴 때 더 높다. 
  

• 가격 variation의 30% 정도는 시장이 닫았을 때 일어난다. 

요일

• 월요일은 개장 시 가장 높은 변동성을 보인다.
  

• 금요일은 유럽장 중간(미국장 초)에 가장 높은 변동성을 보인다. 보통 주요 거시 지표가 발표되기 때문이다.
  

• 그 외에는 요일 간에 큰 차이는 없다.
  

2-5-3. Realized Volatility

많은 시장에서, daily return을 realized volatility로 나눈 값은 approximately normal하다는 것이 관측된다.

Realized volatility의 distribution은 approximately lognormal이다.

Volatility의 autocorrelation은 느리게 decay하고 long memory process와 닮았다.

2-5-4. 기타

5분 수익률은 일일 수익률보다 변동성 예측에 더 정확도를 보인다. 주식 시장과 외환 시장 모두에서 그렇다.

거시 뉴스는 높은 변동성을 짧게 내보인다. 그러나 일반적으로 뉴스는 변동성과 상관 관계가 얕다.