2-2. 최적화(Optimization) 기본과 포트폴리오 선택

2-2-1. 최적화 문제의 정의

최적화 문제는 주어진 constraint 내에서 어떤 함수 f의 최적의 가능한 해를 찾는 것이다. 보통 다음과 같이 정의된다.

위의 f는 objective function이라고 하고, 아래의 조건으로 제약받는다.

x_i는 우리가 최적화하려는 함수에 대한 decision variables, g_i는 m개의 constraint들이다.

이러한 constraint들은 등식일 수도 있고 부등식일 수도 있다.

1) 어떤 문제들은 최소, 최대값을 다음과 같이 전환하면 더 쉽게 풀 수 있다.

2) affine transformation으로 +, × 을 해도 최적화 해는 변하지 않지만, 풀이 마지막에 reverse해야 한다.

3) 만일 함수를 최소/최대가 아닌 어떤 값 c로 두려면, 거리인 f - c 를 최소화하면 된다.

2-2-2. 무조건(unconditional) 최적화 

아무런 제약조건이 없으면, 위의 문제는 단순히 미적분으로 풀 수 있다.

1) x*에서의 f의 Gradient(미분값의 벡터), 즉 ▽f(x*)가 0 인 것이 필요조건이고,

2) Hessian(2차미분값의 매트릭스)이 positive definite이 되어야 하는 것이 충분조건이다. 

*Gradient는 n차원 벡터 f(x) = (x₁, x₂, ..., x_n)^T가 있으면 (δf/δx₁, ..., δf/δx_n)^T를 의미한다.

*Hessian은 diagonal에 각 x_n의 2차미분값이 있고 그 외에는 x_i, x_j의 미분값이 있는 매트리스다.

*Positive definite란, m x m 매트릭스 M이 모든 R^m의 column vector v에 대해 v^TMv > 0를 만족할 때이다.

max를 구하기 위해서는 Hessian이 negative definite가 되어야 한다.

1)은 first order (necessary) condition, 2)는 second order (sufficient) condition이라고 한다. 

어떤 경제에서 n 개 다른 상품이 있고, 각 asset i는 기대수익률 μ_i와 표준편차 σ_i로 완전히 정의된다.

각 상품에 투자된 포트폴리오 비중은 w_i로 포기한다.

기대 수익률 μ의 벡터, covariance matrix Σ, weight vector는 아래와 같이 각각 정의된다.

, , 

즉, portfolio return는 μ_π = μ'w 이고, variance는 σ² = w'Σw 가 된다. ( ' 는 transpose)

참고로, standard deviation vector σ가 있고, 이것의 diagonal matrix를 D(σ) = S, correlation matrix를 R이라 하면,

covariance matrix는 Σ = S'RS 이다. (S' = S)

2-2-3. Mean-Variance Optimization Criterion

이제, 수익률이 r, variance가 0, 다른 상품들과 correlation이 0인 risk-free asset을 정의하자. 이 risk-free asset의 가중치는

w₀ = 1 - w'1

이다. 그러면 포트폴리오의 수익은 다음과 같다.

μ_π = w'μ + r(1 - w'1) = r + w'(μ -r1)

Mean-variance optimization criterion이란, 기대수익률에 변동성으로 패널티를 준 식이다.

λ > 0 은 risk aversion의 척도를 나타내 준다. 

이제 risk constraint 혹은 return constraint 중 하나가 필요하며, 어차피 남은 재산은 risk-free asset에 투자되므로 budget constraint는 필요없다.

위 문제를 풀기 위해서는 이 식을 w의 explicit한 함수로 나타내야 한다.

이 최적화 문제는 간단하다. First order condition은,

이고, 이것은 아래의 candidate solution를 준다.

(참고로, w^T∑w 와 같은 form에서 w에 대해 미분하는 그라디언트는, 같은 등식의 다른 항에 맞춰 w^T 혹은 w를 선택하여 미분하면 된다.)

그리고, second order condition을 체크하면, 시그마는 positive definite이기에

이므로 최대값임을 확인할 수 있다.

2-2-4. Ordinary Least Square Linear Regression

CAPM은 금융 이론의 토대 중 하나다.

R_A는 asset A의 리턴, R_M은 전체 금융 시장의 리턴, r은 risk-free rate, β는 systematic risk에의 exposure이다.

CAPM은 forward looking estimates에는 괜찮지만 parameter들을 추정하기 위한 historical analysis에는 알맞지 않다.

그렇기에 우선 CAPM 대신 Sharpe의 linear factor model을 가져온다.

보통 β는 established 회사의 경우 5년의 monthly data, 급변하는 회사의 경우 2년의 weekly data에 OLS linear regression을 적용해 추정한다.

가정1) 우리가 β를 알고 있고, 가정2) data가 정확히 측정되었으며 stationary하다면, data point i = 1, ..., n에 대한 true model은,

이며, 여기서 모든 i에 대해 β는 동일하고, r은 이론적으론 상수지만 T-Bill 등을 사용할 수 있다.

그러나 문제는, 가정1과 가정2가 성립되지 않는다는데 있다.

그래서 모델을 좀더 현실적으로 하기 위해, error term을 넣는다.

수학적인 이유로, error term ε_i는 IID(independently and identically distributed)이며,

Mean은 E[ε_i] = 0, variance는 finite한 E[ε_i²] = s², covariance는 E[ε_iε_j] = 0, for all i, j 를 만족한다.

Error term이 꼭 정규 분포를 가질 필요는 없지만, 가지면 여러 면에서 편리하다.

그러면 이제, dependent variable Y는 R^A - r로, independent variable X는 R^M - r로 놓고, Y = βX + ε를 추정해본다.

모델에서 예측한 Y-hat은, 

이며, error term은 아래와 같다.

ㅡ <식1>

OLS regression은 β의 추정값인 β-hat이 <식1>의 error term을 최소화해야 한다는 것이다. 즉, unconstrained 최적화 문제다.

위의 식을 matrix notation으로 표현하면,

위와 같고, 이를 전개하면 아래의 식이 된다.

First order condition을 만족하려면, 1차 미분 δF/δβ = 0 이어야 하고, 곧

-2X'Y + 2X'Xβ = 0 이고, 따라서 β-hat = (X'X)^-1X'Y 가 해가 된다.

Second order condition을 체크하면, X'X > 0 일 경우 β-hat이 unique minimizer가 됨을 알 수 있다.

2-2-5. Lagrange Method

아래와 같은 제약조건이 있는 경우를 보자.

이같은 문제는 standard calculus로는 풀 수 없다.

그래서, 모든 제약 조건을 integrate해서 standard calculus를 쓸 수 있게 해 주는 것이 Lagrange method이다.

Lagrangian function L(x, λ)은 원래의 함수 f에 각 제약조건들과 Lagrange multiplier λ들을 곱해 더한 것이다.

이 방법은 n개의 변수와 m개의 제약조건으로 이루어진 문제를 n+m개의 변수에 제약조건이 없는 최적화 문제로 변환한다.

이제 first order condition에 의해,

위와 같이 n+m 개의 변수와 n+m 개의 방정식을 얻는다.

2-2-6. N개의 Risky Assets의 Risk Minimization

이제 이를 N개의 risky assets가 있는 포트폴리오에 적용해 보자.

포트폴리오 selection 문제는 보통 return constraint 하의 risk minimization으로 정의된다. 

왜냐하면 1) return objective가 직관적으로 formulate하기 쉽고, 2) risk가 return보다 control이 쉽기 때문이다.

그러면 우리의 objective function은 portfolio variance이고, 이를 portfolio weights에 대해 최소화 하면 된다.

여기서 계산의 용이성을 위해, 1/2의 factor를 추가한다.

여기서, 포트폴리오 return은 prespecified level m을 만족해야 하고, weight의 합은 1이 되어야 하므로,

위의 두 제약 조건이 성립된다. 여기서 1은 n-element unit vector이다.

이 문제는 equality constraints 하의 optimization 문제이다. Lagrange method에 의해 풀 수 있다.

이제 first order condition을 푼다.

그리고 second order condition Hessian은 covariance matrix Σ 임으로, positive definite이다.

여기서 positive definite이란, 모든 non-zero column vector Z에 대해 Z^'ΣZ > 0 이 성립할 경우를 말한다.

ㅡ <식2>

따라서 위의 해를 구할 수 있다. 이제 이것을 두 제약 조건 μ`w = m과 1`w = 1에 대입하면,

위의 두 식을 얻을 수 있으며, 편의를 위해 A, B, C를 아래와 같이 정의한다.

여기서 AC - B² > 0 이고, 아래와 같이 정리된다.

이를 풀면,

을 구할 수 있다. 이제 이 두 값을 <식2>에 대입하여 w*를 구한 후, 이 w*를 σ_π(m) = w'Σw 에 대입하면,

ㅡ <식3>

위의 식을 구할 수 있다. Minimum variance portfolio는 위의 σ_π(m)이 최소가 되는 포트폴리오이므로,

First order condition을 풀면, 

위를 얻을 수 있다. Second order condition을 체크하면, 2A/(AC-B²)인데 분자, 분모 모두 > 0이므로, m_g = B/A를 얻을 수 있다.

(g는 global minimum variance portfolio)

이 m_g를 이제 <식3>에 대입하면, w_g = (Σ-11)/A, 그리고 σ_g² = 1/A 를 얻을 수 있다.

2-2-7. N개의 Risky Assets와 Risk-Free Asset의 Risk Minimization

위의 케이스는 N개의 risky asset만 있는 경우였다. 이제 risk-free asset을 넣어보자.

이제 위 식의 제약조건은 아래와 같다.

ㅡ <식4>

Risky asset에 투자되지 않은 재산은 risk-free asset에 투자되므로 budget constraint가 없어졌다.

위의 Langrange function을 만든 뒤, 

First order condition을 취하면,

ㅡ <식5>

위의 해를 얻을 수 있다. Hessian은 여전히 covariance matrix므로 positive definite이다.

이제 w*를 제약조건인 <식4>에 대입하면,

위와 같이 되고, 이를 다시 <식5>로 대입하면,

ㅡ <식6>

위의 해를 구할 수 있다.

2-2-8. Tangency Portfolio

Tangency portfolio는 모든 wealth가 risky asset에 투자된 포트폴리오이다.

이 포트폴리오의 asset allocation을 유도하려면, 두 가지 조건을 만족해야 한다.

먼저, 이 포트폴리오는 2-2-7에 유도한 new efficient frontier (Capital Market Line) 위에 있다. 따라서, 아래의 식을 만족한다.

ㅡ <식7>

이는 <식6>와 같다. 또한 동시에, 2-2-6에서 유도한 old efficient frontier (the hyperbola) 위에도 있다.

이는 <식2>와 같다. 그리고, tangency portfolio는 모든 재산이 risky asset에 있으므로,

위를 만족하며, 여기에 <식7>을 대입하면,

여기서, 2-2-6에서 사용했던 A, B, C의 정의를 사용하면,

위와 같이 tangency portfolio의 수익률이 도출된다. 이제 이를 <식7>에 넣어 정리하면,

위와 같이 tangency portfolio의 asset allocation을 얻을 수 있다.

2-2-9. Black-Litterman Model

Black-Litterman 모델은 일반 금융 전문가들의 의견을 수식화해서 반영하는 기법이다.

이 파트에서는 nominal return이 아닌, excess return만을 다룬다.

위의 엑세스 리턴(R은 여러 asset의 return 벡터)은, 아래의 mean과

covariance Σ 의 정규 분포를 가진다고 정의한다. 즉,

이다. Black-Litterman 모델의 기본 아이디어는, 'true' mean excess return은 확실히 알려지지도, 관찰할수도 없다.

대신 위의 estimate π 에 의존해야 한다. 다시 말해, π는 true mean 위주로 gravitate하는 noisy random estimate이다.

그리고 ε ~ N(0, Σ_π) 이다. 그리고 estimate π의 variance는 estimation error ∑_π와 true mean의 variance ∑의 합이다.

Black-Litterman Model의 derivation에는 회귀분석을 사용하는 Theil's mixed estimation model이 있고,

아래의 Bayes' formula를 사용하는 방법이 있다.

2-2-9-1. Step 0 Bayes' Formula

Bayes' formula는 새로운 정보가 생겼을 때 기존 확률을 업데이트 하는데 사용된다.

I가 new information이고, E가 event일 때, P(E | I) = P(I | E)/P(I) x P(E)

P(E)는 prior probability, P(E | I)는 posterior probability, P(I)는 normalization constant라고 한다.

2-2-9-2. Step 1 Reverse Optimization

먼저, prior가 필요한데, 이는 base case asset allocation이다. 이것은 neutral하고 uninformed한 market view를 제공해야 한다.

(베인지안 방식들에서 가장 중요한 건 보통 어떻게 prior를 도출하느냐이다)

N/1의 uniform portfolio를 선택할 수도 있고, global minimum variance portfolio, 혹은 다른 neutral and uninformed 포트폴리오를 선택할 수도 있다.

그러나, uniform potfolio는 risk나 return에 대한 insight가 들어가 있지 않아 prior view of excess return을 정하는데는 도움이 안되고,

Global minimum variance portfolio는 결국 excess return을 위한 estimate이 필요한데, historical return을 쓰면 future expectation과 무관할 수 있다.

따라서 Black-Litterman 모델의 방법은 equilibrium CAPM portfolio로 시작하는 것이다. 즉, 현재 market portfolio가 시장 참여자의 expectation 그자체라는 것이다.

여기서 Σ는 excess return의 covariance이다. 이의 해를 구하면,

이다. 그러나 여기서 문제는 우리가 real equilibrium vector of excess return을 모른다는데 있다.

여기서 CAPM이 유효하다 가정하면, w_M은 market portfolio의 equilibrium weight이고, Π는 risk premia의 equilibrium vector이다. 즉,

ㅡ <식8>

이제 λ, 즉 market의 risk aversion을 구해야 한다. 그것을 위해 양변을 w'_M으로 곱하면,

이 되고, 여기서 w'_MΣw_M는 market porfolio의 variance이므로,

S_M은 곧 Sharpe Ratio이다. Black과 Litterman은 Sharpe Ratio로 0.5를 사용했다. 이를 <식8>에 대입하면 Π를 구할 수 있다.

이렇게 구해진 prior excess return은 neutral하고 uninformed이며, extreme weight이 없이 realistic하다.

이제, P(E) ~ N(Π, Σ_π) 에서, Π는 구했는데, Σ_π를 구하는 것이 남았다.

Black과 Litterman은 이것의 정확한 값은 모르지만, covariance matrix of excess returns Σ과 proportion하다 가정했다. 

즉,  Σ_π = τΣ이고, τ는 coefficient of proportionality라 하며, 그러면 prior인 P(E) ~ N(Π, τΣ) 가 된다.

여러 literature들은 τ를 0.01에서 0.05 사이의 값으로 추정하는데,

만일 우리가 T historical data로 모델을 estimate한다면, τΣ는 square of the standard error of estimate for Π라고 볼 수 있으며,

로 둘 수 있다. (수학적으로 매우 robust하지는 않다)

2-2-9-3. Step 2 Inputing the Views

Analyst들과 Portfolio Managers들의 마켓 뷰를 집어넣기 위해 Black과 Litterman은 두 가지 view를 나누었다.

1) Relative view: Asset 3이 Asset 1을 ω₁의 confidence로 10% outperform 할 것이다.

2) Absolute view: Asset 2는 ω2의 confidence로 3%의 수익을 낼 것이다.

이제 이 두 가지를 Trade Matrix P에 넣는다.

Trade 당 row 하나이며, 여기서 첫 row는 Asset 3 long, Asset 1 short이고, 두번째 row는 Asset 2 long을 의미한다.

그 다음 Return vector Q를 위와 같이 정한다.

그리고 Confidence matrix를 위와 같이 정한다. 

여기서, Ω를 정하는 방법은 네가지가 있는데, 

1) Ω := Diag(P(τΣ)P') 로, Prior의 variance에 proportional하게 정하는 법 > 이는 forecaster의 정확도와 상관이 적다.

2) Confidence interval을 사용하는 방법 > view가 정확할수록 confidence interval은 narrow 하다.

3) Factor 모델의 variance of residuals를 사용하는 방법

4) Idzorek's method

위의 세 가지 matrix를 요약하면, N asset에 대해 K view가 있을 경우, P는 K x N, Q는 K-element column vector, Ω는 K x K이다.

여기서 정확도는 서로 independent라고 가정하므로, Ω는 diagonal matrix다. 만일 view에 대한 불확실성이 Gaussian이면,

P(I | E) ~ N(Q, Ω) 라고 표현할 수 있다.

2-2-9-4 Step 3 Combining to get Posterior Distribution

이제까지 Prior probability P(E)와 conditional distribution P(I | E)를 구했다.

Normalizing constant P(I)는 구할 필요가없는데, 계산 중에 integration constant로  사라지기 때문이다.

일반적으로 Bayes' approach를 continuous distribution에 적용하면 그렇게 된다.

이제 위를 Bayes' formula에 넣어 길고 지루한 계산을 하면,

위의 distribution을 얻고,

이렇게 Black-Litterman formula를 얻게 된다.

2-2-9-5 Step 4 Asset Allocation

이제 다시 Step 1으로 돌아가서,

위의 최적화 문제에서

에, 위에서 구한 값을 대입하면,

Asset allocation을 구할 수 있다.

(참고로 Kelly investor는 본인의 wealth의 로그, ln W 를 최대화시키고 싶어하는 투자자다)