3-1. 블랙 숄즈 모델(Black-Scholes Model)

3-1-1. 블랙 숄즈 모델의 가정

옵션의 가치는 아래의 변수에 대한 함수로 정해진다.

V(S, t; σ, μ; E, T; r)

S는 주식 가격, t는 시간, σ는 변동성, μ는 drift, E는 strike, T는 date of expiry, r는 risk-free rate이다.

S와 t는 변수이며, σ와 μ는 asset price와 관련된 parameter, E와 T는 contract specification, 그리고 r은 currency와 관련된 parameter다.

일단 여기서 옵션 가치를 표시하기 위해 V(S, t)를 사용한다.

블랙 숄즈 모델의 가정들은 다음과 같다.

• 기초자산(underlying)은 known volatility를 가진 lognormal random walk를 따른다. (GBM with constant σ)

• Risk-free rate은 known function of time이다.

• 기초자산의 dividend는 없다.

• 델타 헷징은 continuously 행해진다.

• 기초자산에 transaction cost는 없다.

• 차익거래 기회는 없다.

3-1-2. 블랙 숄즈 방정식

이제 자산이 아래와 같은 식을 갖는다 하자.

그러면 이제 special portfolio를 만든다.

ㅡ <식1>

이 포트폴리오의 변화식은 아래와 같다.

ㅡ <식2>

그리고 Ito에 의해,

이므로, 이를 <식2>에 대입하면,

ㅡ <식3>

이 된다. 여기서 dt는 deterministic term들이고, dS는 random term들이다.

델타 헷지를 하려면, 

로 놓으면 randomness를 제거할 수 있다. 이는 dynamic hedging의 예다.

ㅡ <식4>

델타 헷징된 포트폴리오는 위와 같고, 리스크가 없다.

ㅡ <식5>

리스크가 없으므로, risk-free rate에 투자했을 때 수익과 같아야 한다.

좌변에 <식4>를 놓고, 우변에 <식5>에다 <식1>을 대입하면, 위의 식이 나오고, 

이를 정리하면,

이를 정리하면 위와 같이 블랙 숄즈 모델이 도출된다.

블랙 숄즈 방정식은 linear parabolic partial differential equation이다.

Linear란 것은 1) 두 개의 옵션 가격은 한 개의 두 배다. 2) V가 solution이면 cV도 solution이다. 3) V1, V2가 solution이면 (V1 + V2)도 solution이다.

블랙 숄즈 모델에는 drift rate μ가 없다. 즉, 옵션 가격은 volatility에 따라 달라지지만 drift는 영향이 없다.

Complete market에서 옵션은 기초자산으로 replicate 될 수 있다.

3-1-3. Final Condition과 다양한 옵션

블랙 숄즈 방정식은 옵션의 가격에 대한 정보가 없다. 

방정식 자체로는 아무것도 하지 못한다. 따라서 final condition으로 이를 prescribe 해줘야 한다. 

방정식은 time에 first order므로 1개 time condition, underlying에 second order이므로 2가지 boundary condition, 즉 총 3개가 필요하다.

Call의 경우, S → 0 이면 C ~ 0, S → ∞ 이면 C ~ S, C(S, T) = max(S_T - E, 0) 이다.

Put의 경우, S → 0 이면 P-C Parity에서 P = Ee^-r(T-t), S → ∞ 이면 P ~ 0, P(S, T) = max[E - S_T, 0]

자산이 continuous and constant dividend yield인 D를 받는다고 하자.

즉 시간 dt 동안 자산은 DSdt 를 받는다.

따라서, 기존 모델의 <식3>은 위와 같이 된다.

비슷하게, currency option은 foreign rate r_f 이 들어간 아래의 식와 같고,

Commodity option은 cost of carry q를 넣은 아래의 식이다.

3-1-4. 블랙 숄즈 방정식 풀이

이제 이 블랙 숄즈 식을 풀기 위해서는 다음의 과정을 거친다.

1) Transformation을 통해 블랙 숄즈 방정식을 1차원 heat equation으로 변환한다.

2) Similarity reduction을 통해 heat equation을 푼다.

3) 다시 (1)의 역순으로 transform한다.

3-1-4-1. 블랙 숄즈 방정식의 변환

먼저, 블랙 숄즈 방정식은 시간 t에 옵션 가치를 계산하는 반면, payoff는 시간 T에 일어난다.

따라서, 함수 V(S, t)를 future value term U(S, t)로 변환할 필요가 있다.

V(S, t) = e^-2(T-t)U(S, t) 를 대입하면,

이고, 이를 블랙 숄즈 방정식인,

에 대입하면, 

위와 같이 rV 항이 사라진다. 이 rV항은 결국 present value term임을 알 수 있다.

그 다음, 우리는 backward equation을 풀고 있기 때문에 τ = T - t 로 치환하여 forward equation을 구한다.

세번째로, 1-4-2에서의 직관을 이용해 아래와 같이 둔다. (S²와 S term이 있으면 log를 취해 없앨 수 있다)

그러면,

이고, 이를 대입하면,

위 식을 얻는다.

마지막으로, co-ordinate system의 translation을 한다.

이것은 마치 자산의 spot 가격 대신 forward 가격을 사용하는 것과 얼추 비슷하다.

ㅡ <식6>

그러면 heat equation을 얻을 수 있다. 요약하면 아래와 같다.

3-1-4-2. 방정식 풀이

이제 expiry 때 asset price의 known function이 payoff인 옵션의 식을 구할 것이다.

그 예로는 call, put, digital 등이 있다. 식은 integral form이다.

특별한 경우에, 정규 분포의 cdf로 이 적분을 표현할 수 있다.

그 첫 단계는, <식6>의 special solution을 찾는 것이다. 이 해는 fundamental solution 혹은 source solution이라고 부른다.

두번째로, 식의 linearity과 special solution의 property를 이용해 general solution을 찾아야 한다.

1-2-6에서 사용했던 풀이처럼 풀면, (계산이 복잡하므로 별도로 자세히 다룬다)

을 얻을 수 있다. 그리고 이것은, mean x'와 표준편차 σ(τ)^1/2의 정규분포를 가지는 랜덤변수 x의 pdf임을 알 수 있다.

x'의 함수로서의 W_f를 다양한 τ에 대해 plot한 그래프다. 

x' = x 일 때 함수는 무제한으로 커지고, 이 포인트에서 멀어지면 τ 이 0에 가까워질수록 0으로 decay한다.

이는 곧 Dirac delta function δ(x' - x) as τ ㅡ> 0 이다.

이 delta 함수는 한가지 중요한 아래와 같은 특성을 가진다.

적분 구간은 x 이하 아무 point에서 x 이상 아무 point다.

즉, 델타 함수는 델타 함수가 singular(x' = x)인 point에서의 g의 값을 pick out 한다.

τ ㅡ> 0인 극한에서, 함수 W는 delta function at x = x' 이 된다. 즉,

이고, 해는 아래와 같다.

이 방정식은 Payoff fuction만 알면, 아무 European, non path-dependent option on a single lognormal underlying asset에 적용된다.

• 이 식은 general formula이다.
  

• 이 식은 a) discounting term 곱하기 b) payoff의 integral 곱하기 c) another function 의 형태다.

• 이 c) another function은 Green's function이다.

• 이 함수는 확률로 해석될 수 있다.

• 이 전체 식은 expected payoff의 present value로 해석될 수 있다.

3-1-4-3. 콜 옵션 가격

Call option은 Payoff(S) = max(S - E, 0) 이다. 따라서

여기서 E 이하는 0이므로 0에서 ∞가 아닌 E에서 ∞를 적분한다. 이제 x' = log S' 를 대입하면,

이 되고, 이는 곧

이다. 이 식의 두 항은 아래의 형태로 쓸 수 있는데,

이를 이용해 아래와 같이 요약한다.

기초자산에 continuous dividend yield가 있을 경우, 콜 옵션 가격은 아래와 같다.

만일 자산이 'at-the-money' forward, 즉 S = Ee^{(-(r-D)(T-t))}일 경우, 쉬운 approximation은 아래와 같다.

3-1-4-4. 풋 옵션 가격

풋 옵션은, Payoff(S) = max(E - S, 0)이므로, 동일한 방법으로 도출하거나 put-call parity를 이용하면,

위와 같다. Continuous dividend yield D가 있으면,

이렇게 되고, at-the-money forward의 approximation은

위와 같다.

3-1-4-5. Binary Options

Binary call은 Payoff(S) = Η(S - E) 이고, H는 argument가 positive이면 1, 아니면 0의 값을 갖는 Heaviside function이다.

이므로, 

이고, put도 마찬가지로 계산하면

가 된다. binary call과 put은 time T에 받은 $1의 present value로 add up 해야 한다.

3-1-5. Greeks

델타는 기초자산에 대한 옵션 가격의 민감도이다.

여기서 V는 single contract이거나 whole portfolio of contracts 여도 된다.

감마는 기초자산에 대한 델타의 민감율이다. 가속도와 비슷한 개념이다.

쎄타는 시간에 대한 옵션 가격의 민감도이다.

베가는 변동성에 대한 옵션 가격의 변화율이다.

베가는 zeta 혹은 kappa라고도 한다. 베가도 헷지할 수 있다.

로는 이자율에 대한 옵션 가격의 민감도이다.

마지막으로, 배당률에 대한 옵션 가격의 민감도는 다음과 같다.