1-6. 이항 모델(Binomial Model)

간단한 이항 모델로 블랙 숄즈 식을 도출해 보도록 하자.

ㅡ <식1>

앞선 장에서 다루었던 위의 lognormal random walk의 평균과 표준 편차를 동일하게 따르는 모델을 상정할 것이다.

이항 모델의 최초 값은 S이고, δt 단위시간 후에 uS로 상승하거나 vS로 하락하며, 상승 확률은 p, 하락 확률은 1-p라고 정의한다.

위 이항 모델의 δt 단위 시간 후 평균 변화는 puS + (1 - p)vS - S이고, 이를 <식1>의 평균 변화인 μSδt 과 동일하게 맞춰야 한다.

위 이항 모델의 표준 편차는, S²(p(u - 1 - (pu + (1 - p)v - 1))² + (1 - p)(v - 1 - (pu + (1 - p)v - 1))²) 이고, 이를 <식2>의 표준 편차인 σ²S²δt와 맞춰야 한다.

하지만 변수는 u, v, p 세 개인데 반해 방정식은 두 개밖에 없으니, 해는 무한할 수밖에 없다.

그 중에 다음과 같은 해를 골라 보자. (특정한 결과를 위해 역선택된 해들이다)

u = 1 + σ(δt)^1/2, v = 1 - σ(δt)^1/2, p = 1/2 + μ(δt)^1/2/2σ

이제 위의 해를 가지고, 델타 헷지를 한다. 

포트폴리오 Π = V - ΔS 가 있다고 하고, 상승시 옵션 가격을 V⁺, 하락시 옵션 가격을 V^-라고 하자.

V⁺ - ΔuS = V^- - ΔvS 가 되는 델타를 찾아야 하고, 이 Δ = (V⁺ - V^-) / (u - v)S 이다.

이제 시간 가치를 계산하여 대입하면,

위의 식이 나오고, 이를 V에 대해 정리하면,

ㅡ <식2>

위의 식으로 정리가 된다. 

1-6-1. 위험 중립 확률(risk-neutral probability)

<식2>에 u = 1 + σ(δt)^1/2, v = 1 - σ(δt)^1/2를 대입하여 정리하면,

ㅡ <식3>

위의 식으로 정리할 수 있고, 여기서 p'는,

이렇게 된다.

결국 <식3>의 좌변은 옵션의 현재 가치이고, 우변은 기대값이 된다.

p'의 식을 p와 비교하면, μ가 r로 대체되었음을 알 수 있다.

이 p'를 위험중립확률이라고 한다. 위험중립세계에서 좌우변의 등식을 성립시키는 확률을 말한다.

조금 더 쉬운 예를 들자면, 시작가 100, 상승가 101, 하락가 99인 S가 있다고 하자.

그리고 상승확률은 0.6이고 하락확률은 0.4이다. 

일반적인 기대값을 구하면 strike가 100인 옵션의 가격은 0.6이 되겠지만,

위험중립확률의 개념을 대입하면 옵션의 가격은 0.5가 된다. 

일반적인 기대값이 더 높은 이유는 애초에 stock이 기대값을 따라 pricing이 되지 않았기 때문이다.

1-6-2. 델타 헷징(Delta Hedging)

이제 V⁺, V^-를 V의 함수로 표기해 보자.

ㅡ <식4>

ㅡ <식5>

그리고 이를 Δ식에 대입하면,

위의 식에서 분자의 두 항을 테일러 급수 전개하면, 아래를 알 수 있다.

델타 헷징을 통한 pricing을 continuous하게 접근하면 PDE 형식이 되고 이에서 블랙 숄즈가 도출되며, finite difference method가 이에 적용된다.

Risk neutral pricing은 risk neutral measure 하의 기대값으로 접근하며, 이는 fundamental asset pricing formula로 이어지고 monte carlo 방식이 사용된다.

1-6-3. 블랙 숄즈 도출

위의 <식2>에 <식4>, <식5>를 대입해 마찬가지로 테일러 급수 전개를 하면, 아래와 같이 블랙 숄즈 방정식을 도출할 수 있다.

즉, 결론적으로, discrete 이항 모델을 연속화하면 블랙숄즈 방정식이 도출된다.