3-2. 블랙 숄즈와 마틴게일

이번에는 확률론적인 framework 내에서 블랙 숄즈 방정식을 유도해보자.

블랙 숄즈 방정식을 유도하는 방법은 열 가지 이상 있다. 

3-1에서 했던 PDE 방식은 델타 헷징으로 random term dX를 제거하고 deterministic term dt를 남긴 후 ODE로 변환하여 푸는 방식이고,

여기서 할 방식은 change of measure 기법으로 deterministic term dt를 없애고 random term dX를 남겨 이토/마틴게일로 푸는 방식이다.

3-2-1. Framework

금융 시장 하에 2개의 asset이 있다고 가정한다. Risk-free asset B와 기초자산 S다. 

우리의 목적은 시간 T에 exercise value가 기초자산 S의 함수 G(S(T))인 파생상품 χ를 value하는 것이다.

Risk-free asset B는 dB_t = rB_tdt, B(0) = B₀ 에 따라 evolve한다. 따라서,

B(t) = B(0)e^rt

이다. 이 자산 B는 drift 밖에 없고 diffusion이 없기 때문에 risk-free 하다.

기초자산 S는 GBM에 따라 모델된다.

dS_t = μS_tdt + σS_tdXt, S(0) = S₀

여기서 X(s)는 [0, T] 구간에서의 Brownian motion이다. 즉,

S(t) = S₀e^{μt - (1/2)σ2t + σXt} ㅡ <식1>

파생상품 χ는 time T가 만기이고 European 옵션이며, 만기 때 payoff는 S(T)의 함수 G로 주어진다.  χ(T, S(T)) = G(S(T))

그 외 가정들은 동일하다. 

1) 공매도는 가능하다. 단, 리스크 관리 관점에서는 매우 위험한 practice일 수 있으니 stress test 등을 할 때는 제거하는게 좋다.

2) Frictionless market - transaction cost 등을 나중에 추가한 모델들도 있다.

3) Unlimited buying/selling allowed.

4) Fractional trading allowed.

5) Trading is continuous.

6) Coefficient r, μ, σ는 상수다. 이를 변수화한 모델들도 나중에 있다.

3-2-2. Fundamental Asset Pricing Formula

Fundamental Asset Pricing Formula는 아래를 말한다.

일반적으로 주식의 경우 CAPM을 사용하면 되기 쉽지만, 

옵션의 경우 delta는 상수가 아닌 변수이기에 위의 방식을 사용하기 어렵다. 

또한, 실제 physical world에서 discounting은 risky rate으로 이루어지지만, 여기서는 risk-free rate을 사용한다.

그 차이를 감안하기 위해, "some equivalent probability measure"로 표기해 놓았다.

FAPF를 유도하기 위해서는, 아래의 4단계를 거쳐야 한다.

1) Self-financing trading strategies와 arbitrage strategies를 정의한다.

2) Asset price를 discount한다.

3) Asset price가 simple (discounted) expectation으로 표현될 수 있는 equivalent probability measure를 찾는다.

4) No-arbitrage condition을 이용해서 derivative를 value한다.

3-2-2-1. Self-Financing Trading Strategies와 Arbitrage Strategies의 정의

Trading strategy φ_t = (φ_t^S, φ_t^B) 는 시간 구간 [0, T] 사이에서 progressively measurable한 stochastic process들이다.

φ_t^S는 시간 t ∈ [0, T]에서 기초자산 S의 보유량이고, , φ_t^B는 risk-free asset B의 보유량이다.

이 strategy 정의는, 포트폴리오에 들어오고 나가는 사항에 대해 아무것도 말하지 않는, wide한 정의이다.

그러한 inflow와 outflow는 트래킹이 어려우므로, inflow와 outflow가 없는 포트폴리오를 다루기로 한다. 

이러한 포트폴리오는 self-financing portfolio라고 한다.

조금 더 formal하게 정의하자면,

어떤 time interval [0, T]에 정의된 trading strategy φ_t = (φ_t^S, φ_t^B)의 wealth process V(φ)인

가 아래의 조건을 만족할 때

ㅡ <식2>

이 strategy는 self-financing이라고 한다.

수학적으로 <식2>의 첫번째 적분은 Ito이고, 두번째는 일반적인 리만 적분이다.

그러면 arbitrage strategy의 정의는 무엇일까? 

만약 time 0에 no cost로 어떤 포트폴리오를 만들 수 있고,

Time T 때, 이 포트폴리오가 돈을 잃었을 수는 없지만, 돈을 벌 positive probability가 있을 때, Arbitrage opportunity가 존재한다고 정의한다.

이를 formal하게 정의하면 다음과 같다.

Arbitrage opportunity는 어떤 self-financing portfolio φ가

V₀(φ) = 0, P[V_T(φ) > 0] > 0, P[V_T(φ) < 0] = 0

을 충족할 때를 말한다. 이러한 arbitrage opportunity가 없는 시장을 arbitrage-free라고 한다.

3-2-2-2. Asset Price Discounting

분석에서 Nominal stock price S(t)를 사용하기보다는, discounted stock price S*(t)를 사용한다.

이렇게 하는 이유는 time value of money 때문이며, 이 모델에서 time value of money 는 risk-free rate r로 대변된다.

따라서 이 모델 하에서 투자자는 C₀ = e^-rtC_T 간에 선호가 없다.

Time value of money 때문에 모든 금융 자산의 drift에 r이 embed된 상태이다. 따라서 이를 제거하면 순수한 asset dynamic만 다룰 수 있다.

그러면 <식1>에서 다음과 같은 식이 된다.

그리고 이와 동일한 SDE는,

이 된다.

여기서 μ = r 이면 martingale, μ > r 이면 submartingale, μ < r 이면 supermartingale이다.

3-2-2-3. Equivalent Probability Measure

마틴게일은 driftless라 Brownian motion의 randomness만 신경쓰면 되고, conditional expectation이 계산하기 쉬우며,

Ito 적분들은 마틴게일이며, 마틴게일은 Ito 적분으로 표현될 수 있다.

이러한 마틴게일의 특성을 Process S*로 이용하려면, measure P에서 다른 measure로 이동하여 S*가 언제든 마틴게일이 되게 해야한다.

즉, martingale measure인 measure Q를 찾은 후 Radon Nikodym theorem을 이용하여야 한다.

정의하자면,어떤 구간 (Ω, F)의 probability measure Q가 P에 equivalent하고, S*(t)가 Q 하에 martingale일 경우 Q는 S*의 martingale measure라 한다.

이제 문제는, Radon Nicodym theorem은 바꾸고 싶은 measure를 이미 알 때 도움을 주지만, Q가 뭔지 모를 때 그것을 찾는데는 도움이 되지 않는다.

이 경우, Girsanov's theorem을 사용해야 한다.

어떤 process θ가 아래를 만족하면 Novikov condition을 만족한다 하고,

Novikov condition을 만족하면 아래와 같이 정의된 process M^θ는 마틴게일이다.

그리고 Novikov condition을 만족하는 process θ가 주어졌을 때,

우리는 위와 같이 (Ω, F) 구간에서 P와 equivalent한 measure Q를 Radon Nicodym derivative를 통해 정의할 수 있다.

ㅡ <식3>

이 경우, 위와 같이 정의된 프로세스 X^Q는  (Ω, F, Q)에서 standard Brownian Motion이며 이것이 Girsanov theorem이다.

Girsanov는 Radon Nikodym을 연장하여 Radon Nikodym derivative에 식을 부여하고, P와 Q measure 사이 관계를 정립한다.

여기서 process θ가 굉장히 중요한 열쇠이다. 

<식3>에 의해,

dX_t^Q = dX_t + θ(t)dt 이고, 이는 곧 dX_t = dX_t^Q - θ(t)dt 이다.

그러면, measure P 하의 dS*(t)에서

Measure Q로 이동하기 위해 dX_t^Q를 대입하면,

위와 같이 되고, 이를 정리하면,

위의 식이 된다. 이제 이 것이 마틴게일이려면 drift가 0이어야 하므로,

이다. 그리고 이것이 Novikov condition을 만족함을 알 수 있고, 따라서 measure Q는

위와 같다. 그리고 Q-Brownian Motion은 아래와 같이 정의된다.

또한, measure Q하에서의 discounted asset process는 아래와 같으므로,

ㅡ <식4>

마틴게일임을 확인할 수 있다.

3-2-2-4. Derivative Valuation

우리가 price하려는 derivative의 시간 t에서의 arbitrage-free value를 χ(t, St)라고 하자.

그리고 replicating portfolio를 V라고 한다.

V 또한 time value of money를 제거하기 위해 discount를 해 주면,

위 식이 성립한다.

ㅡ <식5>

즉 시간 T에서 위와 같이 성립한다. G는 payoff. 이제 이 둘을 Q하에 conditional expectation를 취하면,

ㅡ <식6>

그러면 어떻게 <식5>와 <식6>가 연결될까? 바로 self-financing strategy를 통해서다.

위를 이용해서, 아래를 구하면

이렇게 된다. 여기서, Ito product rule이지만 B_t^-1은 random part가 없으므로 2번째 행에서 일반 product rule을 따르게 된다.

그리고 양변을 [0, t] 구간에 대해 적분하면,

위와 같이 된다. 왜냐하면 Q하에서,

<식4>에 의해 위와 같기 때문이다. 그리고,

이것은 Ito integral이며, 따라서 마틴게일이다. 그러면, discounted portfolio value V* 또한 마틴게일이다.

따라서, Q하에서는 S*뿐만 아니라 V*도 마틴게일이다. V*가 마틴게일이기 때문에, 정의에 의해

이고, 여기에 <식5>, <식6>을 고려하면,

ㅡ <식7>

위와 같은 결과를 얻는다. 첫 행은 <식5>, 첫 행과 둘째 행은 martingale 관계, 둘째행과 셋째행은 <식6>이다.

그리고 이 <식7>은 asset valuation의 초석이 된다.

요약하면, 시간 T에 만기인 derivative의 시간 t에서의 가치는, contract의 measure Q 하의 discounted terminal cashflow와 같다.

ㅡ <식8>

3-2-3. 블랙 숄즈 유도

이제 <식8>을 사용하여 Black-Scholes European Call 옵션 문제를 풀어보자.

위의 식은 아래와 같이 표현될 수 있다.

시간 t = 0 으로 두면, conditional expectation을 drop하고 unconditional expectation을 다룰 수 있다.

여기서 1은 indicator function 으로, 조건을 만족하면 1이고 아니면 0이다.

그리고 indicator function의 expected value는 그것의 probability이다. 먼저 두번째 K를 포함한 항을 전개하면,

여기서 X_T^Q 는 N(0, T^1/2)의 분포를 따른다. 그리고 정규 분포는 symmetric이므로,

-X_T^Q 또한 같은 분포를 따르므로, 양변을 σ로 나누고 ζ = -X_T^Q / T^1/2 로 정의했다.

그러면 ζ는 ~N(0, 1)을 따른다.

ㅡ <식9>

가끔 literature에서 아래와 같이 꼬불꼬불한 E가 보이는데,

이는 stochastic(혹은 Doleans) exponential이며, 아래로 정의된다.

Girsanov theorem은 stochastic exponential에 대해서도 정의될 수 있다.

어떤 프로세스 θ가 아래의 조건을 만족할 때,

(Ω, F) 구간에 P와 equivalent한 probability measure Q를 Radon Nicodym derivative을 통해 정의할 수 있다.

이 경우, 아래와 강티 정의된 process X^Q는 (Ω, F, Q)에서 standard Brownian Motion이다.

다시 돌아가, <식9>에서 아래의 term은

ㅡ <식10>

Doleans exponential과 비슷하다.

따라서 <식10>은 아래와 같이 표현할 수 있으며, 확인해보면 θ = σ 인 Doleans exponential임을 알 수 있다.

따라서, Girsanov theorem을 사용하여 새로운 measure를 정의함으로써 몇 term을 없앨 수 있는데,

위의 사항을 확인하면 된다.

이제 Radon Nikodym derivative을 통해 새로운 probability measure Q를 정의하면,

Q 하에서는,

가 Brownian motion이며, 아래가 된다.

따라서, 다시 <식9>를 전개하면,

위와 같이 된다. 

요약하면,

N(d₁)와 N(d₂)는 정규 분포에 따른 확률이다.

정규 분포 그 자체는, 우리가 기초자산이 lognormally distributed라고 한 가정의 결과이다.

Q하에서 만기때 옵션을 행사할 확률은 N(d₂)이다.

Q-bar하에서 만기때 옵션을 행사할 확률은 N(d₁)이다.

3-2-4. Numeraire Pair

Fundamental Asset Pricing Formula는 general하고, 이를 extend해서 numeraire pair (N_t, Q^N)를 이용할 수 있다.

Numeraire pair(N_t, Q^N)은 두 가지로 구성되어있다.

첫째, numeraire process N_t: 가격으로 view할 수 있는 아무 stochastic process N_t > 0 는 numeraire로 쓸 수 있다.

둘째, equivalent martingale measure Q^N: 이 measure 하에 numeraire를 사용하는 any discounted asset은 martingale이다.

그리고 이를 적용하면,

Time T에 만기인 deritvative의 time t 때의 가치는, Q^N measure 하에 contract의 terminal cash flow의 expected value를 numeraire asset으로 discount한 것이다.

사실 우리는 이미 두 가지의 numeraire pairs를 보았다.

(B_t, Q): risk-free asset과 risk-neutral measure

(S_t, Q-bar): N(d₁)를 계산하는데 사용한 stock과 auxiliary measure Q-bar

우리는 real-world P measure 하에서 derivative를 price할 수 있으며, 이 경우 numeraire asset은 log-optimal(or Kelly) portfolio 이다.

이는 부의 log return(혹은 log utility)를 최대화하는 portfolio이며, Black-Scholes 설정에서 stock에 투자한 log-optimal portfolio의 proportion은 (μ-r)/σ²이다.

3-2-5. Feynman-Kac Formula

Black-Scholes 설정에서 이자율이 상수라고 가정하였기에, <식8>로 유도한 fundamental asset pricing equation은 아래와 같이 쓸 수 있다.

이런 종류의 expectation은 PDE로 표현될 수 있는데, 이에 Feynman-Kac formula를 사용한다.

V(t, s)가 boundary value problem을 푼다고 가정하자.

V(T, s) = G(s)

그리고, process S(t)가 아래의 dynamics를 따른다고 하자.

X(t)는 Brownian motion이다. 그러면 V 함수는 아래와 같다.

Black-Scholes 모델에서, risk-neutral measure 하의 옵션 가치는 아래의 expectation으로 표현될 수 있다.

그리고 S_t는 아래의 dynamics를 따른다.

X^Q(t)는 Q 하에서 Brownian motion이다.

그러면 Feynman-Kac formula에 의해, 옵션 가치 V(t, S_t)는 아래의 boundary value problem의 해가 된다.

그리고 이는 Black-Scholes PDE이다.

Feynman-Kac formula는 양방향이다. PDE를 기대값으로 표현할 수 있고, 기대값을 PDE로 표현할 수 있다.

그리고 이 formula는 measure와 independent하다. 즉, 그 어떤 measure에도 적용가능하며 어떠한 change of measure를 의미하지 않는다.