1-1. 금융 공학이란 무엇인가?

1-1-1. 금융 공학의 정의

금융 공학이란 단순하게 말하여 금융 시장에 대한 계량적 분석을 하는 학문이다. 금융계에서 사용하는 분석 방법은 크게 기본적(Fundamental) 분석, 기술적(Technical) 분석, 그리고 계량적(Quantitative) 분석으로 나뉜다. 펀더멘털 분석은 재무제표 등으로 회사를 분석하는 방식을 말하고, 기술적 분석은 차트와 패턴에 의존하는 분석이며, 계량적 분석은 말그대로 수학적인 분석이다. 나는 시카고, 홍콩, 보스턴에서 트레이더로서 기본적 분석과 기술적 분석에 크게 의존해왔다. 그러나 기본적 분석은 기술적 분석은 필연적으로 사용자의 직관에 지나치게 의존하는 경향이 있고, 최근 빅데이터의 대두 및 IT 기술의 발달로 인해 더 이상 계량적 분석을 공부하지 않고서는 점점 설 자리가 없어지고 있다는 생각이 들어 공부를 시작하게 되었다. 금융공학에서 하는 일은 주로 금융 상품을 수학적으로 모델링하는 것이다. 헤지펀드들은 그 모델링을 통해 수익률을 극대화시키려 하고, 리스크 매니저들은 모델링을 통해 리스크를 계량하려 하며, 투자 은행에서는 모델링을 통해 고객에 맞는 파생상품을 디자인하기도 한다.

1-1-2. 간단한 모델

먼저 S&P 500 지수로 매우 간단한 모델을 만들어 보자. 

모든 상품의 수익률은 R_i = (S_i+1-S_i)/S_i 이다. 이를 이용해 일일 수익률을 계산하면, 그 평균과 표준 편차를 구할 수 있다.

작년 한해 S&P 500 지수의 일 평균수익률을 0.00031, 표준 편차를 0.006807이라고 가정하면, 우리는 다음과 같은 식을 도출할 수 있다.

R_i = 0.00031 + 0.006807 x Φ

여기서 Φ는 S&P 500 지수의 분포에서 추출한 랜덤 숫자를 말한다. 만일 지수가 정규 분포를 따른다면, Φ가 +2이하 -2이상일 확률은 95%일 것이다.

그러나 과연 S&P 500 지수는 정규 분포를 따를까? 그렇지 않다. 아래는 S&P 지수와 정규 분포의 비교 그래프이다.

보다시피 S&P 500 지수의 분포도는 정규분포에 비해 중심빈도가 높고, 그래프에서 잘 나타나진 않지만 꼬리가 두껍다.

이는 정규 분포에서 극한값이 나타날 확률에 비해 실제 주식 시장에서는 폭락장이 주기적으로 빈발하기 때문이다. 

그렇기 때문에 이러한 주식시장의 행동을 설명할 분포도를 찾는데 많은 학자들이 심혈을 기울이고 있고, Extreme Value Theory 등과 같은 이론을 정립하고 있다.

그러나 학자가 아닌 실무자들의 입장에서는, 특수 분포를 사용하기보다는 그냥 정규 분포를 사용하고 특수한 케이스를 별도로 다루는 것이 주는 이점이 정말 많다.

따라서 나 또한 정규 분포를 주로 사용할 예정이다. 

위의 식을 일반화하면, 

R_i = 평균수익률 + 표준편차 x Φ

라고 할 수 있다.

여기서, "수익률"을 모델링한다는 단서는 매우 중요한 것이다. Fixed Income이나 변동성의 모델링에 있어서는 이러한 근거가 없다. 

그렇기 때문에 Equity 모델에 비해서 채권이나 변동성 모델은 매우 열악하다.

1-1-3. 연속시간 모델

위의 모델은 이산시간(discrete time) 모델이다. 수학적으로 다루기는 연속시간(continuous time) 모델이 훨씬 이점이 많으므로 연속시간 모델로 전환을 해 본다.

먼저, 파라미터들을 일단위에서 연단위로 바꾼다. 일수익률의 경우, 일년에 주식 개장일이 252일이므로 252를 곱해주면 된다.

그러나 표준 편차의 경우는 어떨까? 이를 알기 위해서는 X, Y가 독립일 경우 Var[X+Y] = Var[X] + Var[Y]라는 것을 이용하면 된다.

시간의 아주 작은 단위를 δt라고 하자. 그러면 시간 0에서 시간 t까지 시간은 t/δt만큼의 단위 개수가 있다.

그리고 표준편차는 δt^a 에 비례한다고 가정하자. 그러면 분산은 δt^2a 에 비례한다.

시간 0에서 시간 t까지 δt^2a 의 분산을 각기 갖는 t/δt개의 시간 단위가 있으므로, 시간 0에서 시간 t까지의 분산은 t/δt x δt^2a 이다.

i) 만일 a > 0.5 일 경우, 시간 0에서 시간 t까지의 분산은 시간이 커질수록 무한히 커지고, ii) a < 0.5일 경우 0에 수렴한다.

우리는 유한한 시간 내에서, 유한하면서 0이 아닌 분산을 갖기 원하기 때문에 a = 0.5 일수밖에 없다.

그리고 a = 0.5 일 경우, 시간 0에서 시간 t까지의 분산은 t 이며, 분산은 시간의 제곱근(0.5승)에 비례한다.

그러면 위의 식을 조금 더 일반화해서 표현할 수 있다.

R_i = (S_i+1-S_i)/S_i = μδt + σΦδt^1/2

그리고 이것은,

S_i+1 - S_i = μS_iδt + σS_iΦδt^1/2 ㅡ <식 1>

와 같이 표현할 수 있다. 그러나 아직 이것은 이산시간 모델이다.

이를 연속시간 모델, 즉 dS와 같은 표현으로 전환하기 위해서는 i) S_i+1 - S_i를 dS로 바꾸고, ii) Si를 S로 바꾸고, δt를 dt로 바꾸면 된다.

단, 문제는 δt^1/2에서 발생한다. dt^1/2란 표현은 존재하지 않는다. dt라는 의미 자체가 아주 작은 t의 단위를 말하는 것인데, dt^1/2 는 그보다 크기도 크고, 의미가 불명확하다.

따라서 우리는 그냥 이를 dX로 표현하기로 한다. 

dX는 E[dX] = 0이고, E[dX²] = dt 인 성질을 가지는 랜덤 변수이며, 이를 위너 프로세스(Weiner Process)라 한다.

위의 세 가지 변환을 <식1>에 적용하면, 

dS = μSdt + σSΦdX ㅡ <식2>

를 도출할 수 있으며, 이것이 자산가격의 연속시간 모델이다.

이 모델은 우측 첫 항의 확정적(deterministic) 파트와, 우측 둘째 항의 무작위적(random) 파트로 나뉜다.

또한 이 식은 확률 미분 방정식(Stochastic Differential Equation)인데, 확률 미분 방정식은 금융 공학에서 굉장히 중요한 위치를 차지한다. 

메모: 금융 공학을 공부하는데 있어 중요한 세 가지 스킬은 1) Math 2) Programming 3) Market skill이다.

수학을 마켓 narrative에 연결시킬 수 있는 사람이 이 분야에서 성공한다.