1-2. 금융 공학의 각종 함수들

이 파트에서는 금융공학에서 쓰일 주요 수학 함수들을 정리해 본다.

이 함수들에서 당장 유의미한 금융 공학 모델이 나오지는 않지만, 금융 공학 전반에 걸쳐 두고두고 나오는 함수들이다.

1-2-1. 테일러 급수 전개

2변수식의 테일러 급수 전개. 함수 f(x, t)가 x = x₀와 t=t₀에서 미분가능하다고 하면,

이런 식으로 전개를 할 수 있다.

1-2-2. 디렉 델타(Dirac Delta) 함수

디렉 델타 함수는 다음과 같이 정의된다.

η이 0을 향해갈 수록 이 함수의 그래프는 송곳이 된다.

이 함수의 응용을 예로 들면, 다음의 pdf를 갖는 정규 분포를 보자.

이 함수의 x = 0에서의 행동양식은, η이 0을 향해 갈수록 송곳이 된다.

다른 예는, Cauchy 분포

에서도 볼수 있는데, 마찬가지로 x = 0에서 ε가 0을 향해 갈수록 송곳이 된다.

1-2-3. 단위(Heaviside) 함수

흔히 H ()로 표기되는 단위 함수는, 양의 x에 대해서는 1의 값을 가지고, 음의 x값에 대해서는 0의 값을 가지는 불연속 함수이다.

0의 x값에 대해서는 정의에 따라 1/2의 값을 가지기도 하고, 0의 값을 가지기도 한다.

1-2-4. 상사 기법 (Similarity Method)

미분 방정식 dy/dx = f(x, y)는 f(λx, λy) = λ^tf(x, y)일 경우, t도(t≥0)의 동차라고 한다. (Homogeneous of degree t)

x = λx, y = λy로 대체하여도 방정식이 성립될 때, 이 방정식은 변수의 변화에 대해 불변(invariant)이라 한다.

이럴 경우, y = vx를 대입하여 f(x, y) = f(x, vx) = x^tf(1, v) 에서 t=0이라면, 이를 이용하여 방정식의 해를 구할 수 있다.

dy/dx = d(vx)/dx = x dv/dx + v dx/dx = v'x + v

v'x + v = x^tf(1, v)에서 t = 0 이므로, v'x + v = f(1, v)

이는 곧 x dv/dx = f(1,v) - v 이며, 이제 x와 v는 분리하여 적분가능하다.

적분 [1/(f(1, v) - v)] dv = 적분 [1/x] + C

1-2-5. 전이확률밀도함수(Transition Probability Density Function)

참고로 내가 적는 함수명들은, 내가 수학의 한글 용어들에 익숙하지 않아 번역이 틀릴 수 있다.

일반적으로 랜덤 이벤트를 다룰 때, Random Walk는 이산 프로세스를 말하고, Diffusion Process는 연속적인 프로세스를 말한다.

금융공학과 관련된 수학에서 확률론과 미적분을 이어주는 역할을 하는 것이 바로 전이확률밀도함수이다. 전이 PDF로 부르도록 하겠다.

전이 PDF는 p(y, t; y', t')로 표기된다. 입자들이 시간 t의 y에서, 시간 t'의 y'로 이동하는 확률을 표기한다.

이 전이 PDF는 전진방정식(Forward Equation)과 후진방정식(Backward Equation) 두 가지를 만족한다.

전진방정식은 과거값인 (y, t)가 고정된 것이고, 후진방정식은 미래값인 (y', t')가 고정된 것이다.

1-2-5-1. 전진 방정식

이산 프로세스인 3항 랜덤 워크를 이용해서 우리는 연속적인 프로세스를 얻을 수 있고, 이를 이용해 전이 PDF의 방정식을 구할 수 있다.

상승 확률과 하락 확률이 동일하게 α인 랜덤 변수가 있다고 하자. 상승도 하락도 하지 않을 확률은 1-2α이다. (α < 1/2)

어떤 점 (y, t)에서 시작하여 현재 (y', t')에 있다면, (y', t') 직전 단계에서는 (y' + δy, t' - δt), (y' - δy, t' - δt), (y', t' - δt) 이 세 상태 중 하나에 있었을 것이다. 따라서,

p(y, t; y', t') = αp(y, t; y' + δy, t' - δt) + (1 - 2α)p(y, t; y' - δy, t' - δt) + α(y, t; y', t' - δt)  ㅡ <식1>

으로 표기할 수 있다.

(y, t 파트는 고정이므로 이를 표기에서 제외하고 테일러 급수 전개를 하면, 

ㅡ <식2>

위와 같이 된다. 참고로, 금융 공학에서 δt^k꼴에서 k > 1인 항은 그 크기가 한없이 작기 때문에 0과 다름없이 취급한다. 그래서 뒤에 ...으로 생략한 것이다.

이 <식2>를 <식1>에 대입하면,

위와 같은 식이 되며, 이를 전개하면

이 되며, 여기서 이 식이 말이 되기 위해서는 δy² 와 δt의 차수가 같아야 한다.

따라서 α(δy²/δt)를 c² 으로 놓으면,

로, 전진 콜모고로프 방정식(Forward Kolmogorov Equation)이 완성된다. 이는 Fokker Planck 방정식이라고도 불린다.

이 방정식은 (y, t)에서 시작한 랜덤움직임의 미래 PDF를 말해준다.

1-2-5-2. 후진 방정식

후진 방정식은, (y', t')가 고정값이고, (y, t)가 변수이다. 

우리가 (y, t)에 있을 때, (y', t')로 갈 확률은, 각각  (y + δy, t + δt; y', t'), (y - δy, t + δt; y', t'), (y, t + δt; y', t') 세 가지 상태의 확률과 연관되어 있다. 즉, 

이렇게 전개되고, 이를 테일러 급수 전개하여,

동일하게  δt^k꼴에서 k > 1인 항을 제외하고 나면,

이렇게 되고, 전진 방정식과 마찬가지로, 여기서 δy² 와 δt의 차수가 같아야 한다. 

따라서 α(δy²/δt)를 c² 으로 놓으면, (c²는 δt, δy ㅡ>0일 때, 유한이고, 0이 아님)

후진 방정식(Backward Equation)이 된다.

단순히 설명하면 전진 방정식은 열전도 방정식(Heat Equation)이고, 후진 방정식은 거기에 - 사인이 있는 것이다.

1-2-6. 확산 방정식(Diffusion Equation)

이제 전진 방정식(Forward Equation)에 상사 기법(Similarity Method)을 적용하여 보자.

그러면 편미분 방정식에서 상미분 방정식을 얻을 수 있다.

ㅡ <식3>

어떠한 p = p(y',t') 식에 대해 위의 전진 방정식이 성립한다고 하자. 여기서 이제 '표시는 제거한다.

그리고, 아직 결정되지 않은 상수 α, β에 대해, 아래의 식이 성립한다고 가정하자.

편의를 위해 ε을 y/t^β로 둔다. 그러면 다음과 같다.
, 

이제 원래의 p(y, t)식은 아래와 같이 되고,

ㅡ <식4>

이를 이용하여, <식5>, <식6>을 도출한다.

ㅡ <식5>

ㅡ <식6>

그리고서 이제 <식5>, <식6>을 <식3>에 대입하면,

위의 식을 얻는다. 여기서 우리가 상미분 방정식을 얻으려면 변수가 1개여야 하므로, β = 1/2로 놓아야 한다는 것을 알 수 있다.

그러면 이 식은 다음과 같이 축약된다.

ㅡ <식7>

이제 β = 1/2를 안 상태에서 다시 <식4>로 돌아가면,

여기서, p는 확률밀도함수(PDF)이기 때문에 총 적분값이 1이 되어야 한다.

그리고 y/t^1/2을 u로 치환하면, 아래의 식을 얻을 수 있다.

p가 확률밀도함수임이 성립하려면, 위의 식이 t와 독립적으로 항상 성립해야 하기에 α = -1/2로 놓아야 한다는 것을 알 수 있다.

그러면 다시 <식7>로 돌아가 α값을 대입하면,

ㅡ <식8>

위 식이 성립하게 되고,

위의 값을 <식8>의 좌변에 대입하여 양변을 적분하면,

ㅡ <식9>

위의 식이 나온다. 여기서 K값을 생각해보면, f는 확률밀도변수이므로, ε가 0으로 수렴할때 <식9>의 좌변은 0으로 수렴하고, 우변의 첫항도 0으로 수렴한다.

따라서 K = 0 일 수 밖에 없다. K = 0 이면 <식9>는 간단한 1계 미분방정식이 되어 풀 수 있다.

f는 확률밀도변수이므로,

가 성립하여야 하고, x = ε/2c 로 치환하면,

이며 A = 1/2cπ^1/2가 된다. (왜 exp(-x²)를 적분한 것이 π^1/2 인지는 다음 파트 1-2-7을 참조) 이를 다시 

이 식에다 대입하면, 최종적으로

ㅡ <식10>

가 나온다. 그런데 이 <식10>은 무엇인가? 아래의 정규 분포의 pdf 식을 보자.

위의 정규 분포와 <식10>을 비교하면, <식10>은 평균이 0이고 표준 편차가 c(2t)^1/2인 정규 분포 pdf임을 알 수 있다.

만약 y'이 시간 t에 값 y를 가진다면, 이를 일반화해서 아래의 식을 도출할 수 있다.

이 식이 의미하는 건 무엇일까? 조금 더 알기 쉽게 아래의 그래프를 보자.

저 식이 의미하는 것은, t' = t 즉, 시간 0에서 dirac delta 함수의 모양을 보이고, 시간이 흐르면서 평균 y, 표준 편차 c[2(t - t')]^1/2의 성질을 보이며 분산해 나간다는 것이다.

1-2-7. exp(-x²)의 실수범위에 대한 적분

이 문제는 퀀트 인터뷰에서도 자주 나오는 중요한 문제이기에, 따로 설명을 한다. 

수식을 일일이 타이핑하는 것이 귀찮아 직접 종이에 적었다.

이 문제를 푸는 방법은 크게 두 가지가 있다. 첫번째는 정규 분포 함수의 cdf를 이용하는 것이고, 두번째는 극좌표를 이용하는 것이다.

첫번째 방식은 위와 같이 정규 분포 함수에서 치환하여 유도하면 된다.

두번째 방식은 polar coordinates를 이용하는 방식으로 조금 더 복잡하다.