1-4. 확률 미분방정식(Stochastic Differential Equation)의 변환

1-4-1. 확률 미분방정식의 변환

dG = a (G, t) dt + b (G, t) dX

위와 같은 식을 G의 확률 미분방정식, 혹은 dG의 랜덤 워크라고 한다. 

a (G, t) dt 는 결정론적인 파트이며, dt의 계수는 drift 혹은 growth라고 부른다.

b (G, t) dX 는 무작위적인 파트이며, dX의 계수는 diffusion 혹은 volatility라고 부른다.

dS = μSdt + σSdX ㅡ <식1>

위의 식의 경우, μS가 drift이고 σS가 diffusion이다. 

<식1>은 Geometric Brownian Motion 혹은 Exponential Brownian Motion이라고 불린다.

양 변을 S로 나누면,

ㅡ <식2>

위와 같이 되며, 좌변은 자산의 수익률, μ는 자산의 growth rate, σ는 변동성을 나타낸다.

그리고 dX는 Wiener Process로 dX ~ N (0, dt) 이다.

그러면 이제, 여기서 한 발 더 나아가 주식에 대한 파생상품 가격 V(S)을 고려해 보자.

주식 가격 S가 S+dS가 되면 파생상품 가격 V(S+dS)는 어떻게 될까?

먼저 V(S+dS)에 대해 테일러 급수 전개를 취하면,

ㅡ <식3>

dS³이상의 항들은 dt^k 꼴에서 k>1보다 큰 항들만 남게 되므로 그 크기가 굉장히 작아 생략 가능하다.

dS는 <식1>을 사용하면 되고, dS²는 dS를 제곱하여 dt^k 꼴에서 k>1보다 큰 항을 생략하면,

dS² = σ²S²dt ㅡ <식4>

가 된다. 이제 <식1>과 <식4>를 <식3>에 대입하면,

ㅡ <식5>

위의 식을 얻게 된다. 위의 식 또한 결정론적 파트와 무작위 파트로 이루어진 SDE 이다.

1-4-2. 자산 가치 S의 폐쇄형 해(Closed-form Solution)

만일 V(S) = log S 로 둔다면, dV/dS = 1/S, d²V/dS² = -1/S² 가 되고, 이를 <식5>에 대입하면,

이 되고, 이의 양변을 (0, t)에 대하여 적분하면,

여기서 자산 가치 S의 closed-form solution을 아래와 같이 구할 수 있다.

왜 V(S) = log S 로 두었는지에 대해서는, S가 0이나 음의 값을 가지지 못하도록 두기 위해서이기도 하지만,

어떤 의미가 있어 log S를 대입하였다기보다는 log S만이 S의 closed-form solution을 주는 치환이어서라고 역순으로 생각하면 되겠다.

1-4-3. Vasicek 이자율 모델

단기 이자율을 위한 Vasicek Interest Rate Model을 살펴보자.

여기서 ν은 reversion rate(speed of reversion)이고 r-bar은 mean rate을 의미한다. 여기서 u = r - rbar로 두면, 

이 식은 물리학에서 유명한 Ornstein-Uhlenbeck Process이다. 여기서 우변의 dt항을 좌변으로 옮긴 후 integrating factor exp(νt)를 양변에 곱하면,

가 되고, 이의 양변을 (0, t)에 대하여 적분하고 부분 적분법을 사용하면,

위의 식을 얻을 수 있다. Vasicek 이자율 모델 또한 이와 같이 폐쇄형 해가 있는 SDE이다.

1-4-4. 전이 확률 밀도 함수(Transition PDF)

1-4-4-1. 전진 방정식

이전 1-2-5에서 다룬 아래의 Transition PDF의 경우, 단순히 dX만 있는 경우였다.

이번에는 아래와 같은 SDE의 Transition PDF는 무엇인지 알아보자.

도출 과정이 꽤 복잡하므로 요약하면, 

1-2-5에서는 Trinomial Random Walk의 상승/하락 확률이 단순히 α라고 가정했지만, 

이제는 drift가 있으므로 상승 확률 φ⁺과 하락 확률 φ^-을 각각 따로 구해야 한다.

따로 구한 식에서의 평균과 분산을, dy의 평균과 분산에 매치시켜 관계식을 구한다. 

그런 다음 이전과 동일하게 p(y, t; y', t')의 식을 φ⁺와 φ^-에 대하여 전개한 후, 

각 항을 테일러 급수 전개하여 δt보다 작은 항은 생략하고 정리하면, 아래의 식을 구할 수 있다.

ㅡ <식6>

그러면, 이전의 주식 가격식인 <식1>에 <식6>을 적용해 보자.

ㅡ <식1>

A파트인 μS 와 B파트인 σS 를 각각 <식6>에 대입하면,

ㅡ <식7>

위의 식을 얻을 수 있다. 그러면 이제 <식7>을 1-2-6에서 한대로 풀면,

위와 같은 해를 얻는다.

그리고 이를 그래프로 표현하면 아래와 같다.

그래프는 앞쪽부터 t=0으로 시작하여 점점 뒤로 갈수록 시간이 흐르고, 시간의 흐름과 함께 발산하는 형상이다.

1-4-4-2. 정상 상태 분포(Steady-state Distribution)

어떤 랜덤 워크들은 steady-state distribution을 가진다.

그것은, t' ㅡ> ∞ 으로 가면서, y'의 함수인 p(y, t; y', t')의 분포가 시작 상태 y와 시간 t와 독립적으로 안정되는 것이다.

이와 관련된 예로는 이자율, 인플레이션, 변동성 등이 있다.

반면, 어떤 랜덤 워크들은 time-independent 방정식을 가지고도 그런 안정 상태를 가지지 않는다.

예를 들어, lognormal random walk는 제한없이 발산하거나 0으로 수렴한다. 

만약 어떠한 랜덤워크가 steady-state 분포 p_∞(y')를 가지면, 그것은 아래의 상미분 방정식을 만족한다.

ㅡ <식8>

다음의 Vasicek 모델의 경우,

그 steady-state 분포 p_∞(y')가 <식8>을 만족한다. 이를 풀면 아래의 해를 얻는다.

달리 풀어 말하면, 이자율 r은 r-bar의 평균과 표준 편차 σ/(2ν)^1/2를 갖는 정규 분포를 따른다.

이자율이 무한히 커질 수도, 음의 값을 가질 수도 없는 것을 감안하면 이치에 맞는다.

1-4-4-3. 후진 방정식(Backward Equation)

후진 방정식은 마찬가지로 구하면 된다.

1-4-5. 랜덤 워크 모델의 시뮬레이션 관련 메모

Continuous 모델을 시뮬레이션하려면 discrete 모델로 approximate해야 한다.

상관계수 ρ이고 각각 평균이 0이고 표준 편차가 1인 φ¹, φ²를 시뮬레이션하려면,

서로 uncorrelated한 ε1와 ε2를 고른 후에, φ₁ = ε₁, φ₂ = ε₁ρ + ε₂(1-ρ2)^1/2로 두면 된다.

정규 분포를 가진 변수들의 가중 합은 정규 분포를 가진다.