위의 특성을 가지는 프로세스를 Wiener Process 혹은 Standard Brownian Motion 라고 한다. (더 일반화된 Brownian Motion도 존재)

그 외의 특성으로는, Covariance Function는 E[W_tW_s] = min {t, s} 이다.

또한 브라운 운동은 마틴게일(Martingale)이다. 마틴게일에 대해서는 이후 장에서 자세히 다루도록 한다. 간단히 말하면 현재값이 미래의 best forecast와 같다는 것이다.

마지막으로, 앞으로 이 W항이 들어간 stochastic differential equation들을 미적분하기 위해서는 다음 사항이 필요하다.

이 값을 도출하는 방법은, 평균 제곱 수렴(Mean Square Convergence)을 이용하는 방법이 있다. 

여기서 t_j = jt/n = jΔt 이다. 

전체 제곱을 확장한 후, W(tj) - W(tj-1)이 평균 0과 분산 t/n의 정규 분포를 따르는 것을 이용한다.

그러면 E[ ]값이 2t²/n 로, n이 무한히 커질수록 0에 수렴한다. 

따라서 Δt 값이 작아질수록 (W(t_j) - W(t_j-1))² = t 에 수렴함을 알 수 있고, (dW)² = dt 이 성립한다. 

전체 제곱을 확장하여 정리하는 과정이 매우 복잡한데, 그냥 (dW)² = dt 이라고 외우면 충분할 것으로 생각된다.

컴퓨터에서 브라운 운동을 설계하려면 다음과 같이 한다.

시작: t₀, W₀ = 0; define Δt = T/n

Loop i = 1, 2, ... , n;

t_i = t_i-1 + Δt

draw φ = N(0, 1)

W_i = W_i-1 + φ(Δt)^1/2

Wiener Process의 함수 F에 대하여 테일러 급수 전개를 해 보자.

여기서 dW³이상의 항은 dt보다 작기 때문에 생략한다. 여기서 F(W + dW) - F(W) = dF 이므로,

위의 식에서, dW² = dt를 적용하면 SDE를 얻을 수 있다.

그러면 예를 들어, F = W² 일 경우, 

dF/dW = 2W 이고 d²F/dW² = 2이므로, dF = dt + 2WdW임을 알 수 있다.

2변수 함수 f(t, W(t))의 경우는 어떨까? 

위와 같이 테일러 급수 전개를 하고, dW³혹은 dt² 이상의 항을 소멸시키면,

ㅡ <식1>

다음의 SDE를 얻을 수 있다. 

위의 <식1>에서 df와 dt항들을 우변에, dW항을 좌변에 놓고 양변을 (0, t)에 적분하면,

ㅡ <식2>

위의 적분식을 얻을 수 있다. <식2>는 여러 모로 유용하다.

1-3-4. 이토 적분

일반적인 리만 적분의 경우, a와 b 사이를 N 구간으로 나눈 후, 

a= x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_N-1 < x_N = b 로 각 구간의 끝점을 정의했을 때,

x_i = a + idx 를 도출 할 수 있고, (0, T) 사이의 적분은

위의 네 가지 방식 어느 것을 써도 무방하다.

하지만, 이토 적분의 경우, f(t_i+1)항의 값은 f(t_i) 시점에서 알려지지 않았다는 것에 문제가 있다. 따라서,

ㅡ <식3>

이토 적분에서는 <식3>만을 사용할 수 있다. 이것이 이토의 적분식이다.

1-3-5. 확산 과정(Diffusion Process)

dG(t) = A(G, t)dt + B(G, t)dW(t) ㅡ <식4>

위의 식을 만족하는 G를 확산 과정(Diffusion Process)라고 한다.

이 식은 결정론적인 파트 A(G, t)dt와 무작위 파트 B(G, t)dW로 이루어져 있다.

이 확산 과정은 다음과 같은 특성을 갖고 있다.

• A = 0, B = 1은 식을 다시 브라운 운동으로 돌려 보낸다.

• A와 B가 t와 독립이면 시간-동차(time-homogeneous)라고 한다.

• dG² = B²dt 이다.

세번째 특성은 단순히 dG(t)를 제곱하여 전개하면, dt², dtdW, dW²의 세 항으로 나뉘는데, 처음 두 항은 dt^k 꼴에서 k>1 이므로 생략 가능하다.

<식4>는 프로세스 G의 SDE라고 하거나, dG의 랜덤 워크라고 한다.

<식4>의 양변을 (0,t) 구간에 적분하면 아래의 식을 얻을 수 있다.

1-3-6. 기하학적 브라운 운동(Geometric Brownian Motion)

브라운 운동은 음의 값을 가질 수도 있기 때문에 주식과 같은 상품의 모델링에는 적합하지 않다. 대신,

위와 같은 형식으로, %단위인 μ와 σ를 사용해 drift는 μG이고 diffusion은 σG인 프로세스를 Geometric Brownian Motion이라고 한다.

금융 공학에서 매우 인기 있는 GBM 모델은 주식 S(t)에 대한 아래의 GBM 모델이다.